[Haoi 2008] bzoj1045 糖果傳遞 [數學]

Description:
有n$n$ 個小朋友坐成一圈，每人有ai$a_i$ 個糖果。每人只能給左右兩人傳遞糖果。每人每次傳遞一個糖果代價爲1$1$ 。求代價最小。

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Solution:
設第i−1$i-1$ 個人傳給第i$i$ 個人xi$x_i$ 個，那麼
xi−xi+1+ai=v$x_i-x_{i+1}+a_i=v$
那麼我們得出
xi+1=xi+ai−v$x_{i+1}=x_i+a_i-v$
設ci=v−ai$c_i=v-a_i$
那麼
x2=x1−c1$x_2=x_1-c_1$
x3=x2−c2=x1−c1−c2$x_3=x_2-c_2=x_1-c_1-c_2$
對ci$c_i$ 做前綴和
得出
xi=x1−si−1$x_i=x_1-s_{i-1}$
那麼答案是
∑ni=1|si−1−x1|$\sum _{i=1}^n|s_{i-1}-x_1|$
自然x1$x_1$ 取s$s$ 的中位數時答案最小。

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6 + 5;
int n;
ll v, ans;
ll a[maxn], s[maxn];
int read() {
    int x = 0, f = 1;
    char c = getchar();
    while(!isdigit(c)) {
        if(c == '-') {
            f = -1;
        }
        c = getchar();
    }
    while(isdigit(c)) {
        x = x * 10 + c - '0';
        c = getchar();
    }
    return x * f;
}
int main() {
    n = read();
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        a[i] = read();
        v += a[i];
    }
    v /= n;
    for(int i = 2; i <= n; ++i) {
        s[i] = s[i - 1] + a[i] - v;
    }
    sort(s + 1, s + n + 1);
    ll t = s[(n + 1) / 2];
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        ans += abs(s[i] - t);
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}