前言
不少同學好像一直爲數學的事情困擾，坦白說，我也是。有些人來問我該看什麼教材？怎麼學？什麼順序？雖然不厭其煩的談過許多次，但一直提不起興趣就這個內容寫東西。原因很多，一來因爲其實行內用哪些書一般大家都知道，二來其實根本不存在什麼學習方法，看能看懂的，反覆練習，看不懂的定理和證明就先多抄幾遍，往往抄最多三遍就瞭解的差不多了。竅門就一個――使勁下功夫，抱着一勞永逸的態度使勁讀兩年，數學的困擾肯定會離你遠去。最近幾天沒什麼事，FTP建起來了，又多了一種交流手段，很開心。躺在牀上發呆的時候覺得還是寫個東西出來吧，畢竟自己也走了不少彎路，看了一些後來覺得不值得看的書。所以寫點東西出來供大家參考可能是有益的。再者因爲花壇這兩天太蕭條了，認真寫個原創貼可能會吸引一些人氣。最後也希望學過這些書的同學多來交流一下心得，很多地方我自己也不是很明白。
（一）、本文思路：就像我在另一篇文章《學習經濟學五年有感－一無是處》中談到的，學東西要從簡單的學起，“複雜的事情簡單作，簡單的事情反覆作”。本文推薦書的順序是先從簡單的直觀開始，然後到抽象的分析，然後再回到直觀。
（二）、推薦書目的標準：
1、可得性：所有的書都是可得的，不可得說什麼也沒用。來源主要是我們得兩個圖書館（主要是總院館），已經出的影印版，以及九章書店可以買到的書。如果哪些書上面幾個地方也沒有的話，可以找我借去複印。
2、全部爲英文。中文的數學書我不是很瞭解，不敢亂說。
3、全部是基礎類的書：就是數學分析，實分析，概率，統計，線性代數，還有動態經濟方法。更“專業”的書這裏也許會涉及，但不會多提。比如Kenneth Judd ; Burmeister & Dobell ；Halbert White 等等類似的書這裏不會多談。
4、一個特定題目的主要書目不會超過兩本，太多了就濫了，看也看不完。當然可能順手會多舉幾本書作參考。饒是如此，看完這些書也得一兩年，學到什麼程度就看個人努力了。每天花個4、5個小時大概是要的。
教材的作用很大，尤其在研究生前兩年打基礎的階段，值得下功夫。
前言的最後一句是廢話：多作練習；別跳過證明直接用結論，否則恐怕看多少次也解決不了數學的“困擾”。
PS: 1、九章書店地址在海淀圖書城（那個樓叫什麼來着，就是靠着麥當勞那邊），
網上可以查書：
http://www.jzbook.net.cn/
2、總院圖書館數目檢索系統
http://219.141.236.146/ecolas-c/intro.php
一、談談數理經濟學教材
寫數理經濟學教材的人不容易，篇幅有限的情況下既要照顧數學又要照顧經濟學，很多時候顧此失彼，呵呵。我後來很少看類似的書，經濟學看三高的教材，數學知識看數學書，分工明確。學經濟學的學生肯定經典的三高教材都有，所以再買數理經濟學教材的話將會有大量的內容重複，而且其中的數學內容往往又不夠深入完整，這是缺點。然而，數理經濟學的書在開始的時候還是要看的，一來回顧已經知道的數學知識，把它們和現在學的經濟學結合起來；二來學數學見效比較慢，往往跟不上第一學期三高的教學要求，所以需要弄點“速成”祕笈，數理經濟學書可以滿足這個要求（準確的說，只能滿足高微的要求）。
如果要往書架上添兩本教材的話，我個人推薦 Eugene Silberberg 等人的< The Structure of Economics: A Mathematical Analysis> （第三版）以及 Angel de la Fuente , 兩本書都是上海財大出的。前者的影印和中文都有，後者的原版總院館有。
前者的中文前言和目錄大家可以看一下
http://time.dufe.edu.cn/ym210/article.php?articleid=822
裏面很多經濟學內容，數學不抽象，以應用層面爲主。
後者的數學比較抽象，前半部分（前六七章）基本是簡單的數學分析和實分析雜交品種，基本看不到經濟學，Berkeley在講這本書的時候前面還加入了一些簡單的測度論內容。研一花了將近一個月抄了一遍前六章，作了所有習題，發現沒什麼意思，不如直接看數學書。推薦的原因有三：一來因爲這本書很流行，網上圍繞它展開的課程講義和相關材料不少；二來因爲其中的抽象數學內容屬於“精選”，可以當作“速成”參考；三是該書的後半部分講的是動態經濟學的內容，有很多宏觀經濟學的例子，而第一本書中沒有這些。
下面簡單談談其他幾本常見的類似的書，蔣中一的《基本方法》屬於牀頭讀物，厚厚的一本，寫得不錯，就是羅嗦，大部分內容是很多人已經知道的，複習一下罷了。估計看書快的一週就看完了，慢的話兩週也可以讀完。圖書館有英文版。
高山晟那本《經濟學中的分析方法》倒是不錯，但我一直沒搞明白這本書的目標讀者是誰？或者換句話說，我不明白他在寫出了《Mathematical Economics》（1985年第二版，不清楚繼續更新了沒有）之後，爲什麼又搞了這本書出來？前者在絕大部分地方不過是後者的縮寫，書中隨處可見“請參考takayama 1985”字樣。這本書初學者肯定看着不舒服，太簡捷了，而且內容不少。如果想買人大那版中文的話，實在不如到總院借來後者的英文原版複印一下。
其實實在想“速成”以跟上微觀的進度的話，最快可能是去讀Jehle & Reny (Second Edition)那一百多頁紙的數學附錄，是高微教材裏附錄寫得最好的一本（準確的說，最“人性化”的, 呵呵, Varian 太愛惜筆墨， MWG“過分”嚴格，Krep有特點，花了寥寥數頁搞定了constrained optimization, 平地裏蹦出一章動態規劃來，嘿嘿）。
如果你實在想急於“搞定”凹性和優化知識的話，Dixit的《optimization in economic theory》寫得不錯，薄薄的小冊子，一週內肯定讀完，經濟含義豐富，內容簡單明瞭。本書研院圖書館有兩本。如果再想系統化的嚴格一下，Madden 《Concavity and Optimization in Microeconomics》是個理想選擇，從最簡單的一元函數、凹性、無限制優化講起，然後加入一個約束，兩個約束，多個約束，嚴格凹性，擬凹登場，直到解得存在性，可微性，唯一性。。。。。。一本書完了，直觀感覺，數學嚴格性和經濟含義兼備。當年我比較笨，數學基礎差，這本書完完整整抄了一遍，後來講微觀習題課很多內容要感謝這本書。總院館有。
羅嗦了一堆，不說了。
二、說說數學分析和實變函數（不敢叫實分析，呵呵）
進入這個題目我有點膽戰心驚，估計能做到野人獻曝就不錯了，寫出來的全是垃圾也是很可能的，呵呵。原因有二：一是這方面內容自己雖然下過很大功夫，但總覺得不是那麼得心應手，總覺得隔着點兒什麼，還是功夫不夠。二是自己曾花了很長時間猶豫要不要下很大很大功夫學這些東西，因爲初學好像和經濟學不靠邊兒，不過終於還是下功夫了，確實感覺必不可少，另外確實很有趣。古龍《蕭十一郎》裏有個人叫楊開泰，我印象很深，倒不是因爲他對風十四娘一往情深，而是因爲他的武功。源於兩個情節，一個是他的一句話，大意是幾十年來，少林功夫的早課晚課從不耽誤；其二是他和蕭十一郎的交手，蕭很驚訝從前小看了這個人，因爲“他從未見過這麼紮實的武功”，雖然他心中有愧，沒有就楊出第十七招時露出的三個破綻出手，但兩百招以後楊的功夫完全展露出來了，已經打出了完美的境界。學分析類課程的感覺就和這段武功描寫大概差不多。只要學紮實了，後來學經濟學確實得心應手，可以“一次性”解決“不會證明”的問題（當然好處遠不止與此）。
在看高微作業的時候，有些同學在抽象的證明題後面留了大片空白，有些證的不知所謂，可能就是因爲抽象的數學訓練不夠；也有不少證明的很漂亮，我一年級的時候肯定沒這水平，呵呵。
學分析的好處很多文章談的很多了，還是那句話，5遍不算多，十遍也值得（“實變實變，不學十遍哪行？”嘿嘿），會大幅加快後面學習的進度，比如學概率論或者動態規劃的時候，很多內容可以跳過去。
進入教材之前，還要遵守一下前言的思路，說說微積分的直觀感覺。數學系的同學雖然直接上的數學分析，但一般數學系都會給本科生開大學物理，所以他們對微積分的直觀感覺應該是不差的。普通學經濟的同學我就不敢說了，反正我自己沒感覺。後來補直覺的時候用的是Stewart (第五版)，一千多頁，在加兩張光盤，跳過所有的練習不看，只看直觀解釋部分，然後對照光盤圖文動畫並茂，費了一陣功夫，總算知道了微積分那些概念能幹嘛了，呵呵。
進入教材吧。
如果這兩門課我選兩本教材的話，我會選Apostol (第二版)和 Aliprantis & Burkinshaw . 如果每門課兩本的話，數學分析我會添上 Rudin < Principles of Mathematical Analysis>, 實分析的話，添Royden (第三版) 或者Rudin , 後者拿不準。因爲如果我說靠自學就把這兩本書的內容啃完了的話，那我是在YY，但是Aliprantis & Burkinshaw 那個可以搞的差不多，配套的習題集和答案幫了不少忙。以前我以爲是自己笨，但是瀏覽了一下Amazon對Royden那本書的評價，總算喘了口氣，嘿嘿。
Apostol的書寫得太漂亮了，直觀，嚴格，證明漂亮，閱讀時有一種快感難以言表，而且還有很多習題我居然也是可以自己做的不錯滴，最後這條很讓我興奮。（我們的FTP上有前九章所有的習題答案）――當然，我也時不時摘幾道吉米托維奇做做，而且經常會陷入幻想，自己有一天很牛叉的做完了所有的吉米，唉，估計也只能是幻想了。
Rudin的書個人特點顯明，翻開書一看，就看見一個個黑體字――Theorem, Corollary, Proof…沒有廢話，怪不得機械工業出版社的影印版封底有這樣一句話“與其說這是一部教科書，不如說這是一部字典。” 饒是如此，該書還是不可或缺，證明簡單，漂亮，有力量！！！！！！此公寫得三本分析皆爲經典，上面提到了兩本，還有一本,這個偶就徹底看不懂咧。
實變函數可說的話不多，前面推薦的書都以自學爲目的，實變如果也要自學的話，我覺得不太靠譜，推薦這本書是因爲我學過一些實變，然後還學過一些簡單的測度論，所以才堪堪把Aliprantis & Burkinshaw 搞的差不多。所以這部分內容還是推薦大家去聽課吧。
PS：據說博弈論老牛Binmore 寫過一本《Mathematical Analysis: A Straightforward Approach》很是精彩，可惜無緣拜讀啊。此公在另外一本< Fun and Games: A Text on Game Theory>的前言中有一段話着實精彩，文采太好，不會翻譯，所以直錄如下作爲本節結尾：
Much of what passes for an undergraduate education, both in the United States and in Europe, seems to me little more than an unwitting conspiracy between the teacher and the student to defraud whoever is paying fees. The teacher pretends to teach, and the student pretends to learn, material that both know in their hearts is so emasculated that it cannot be properly understood in the form in which it is presented. Even the weaker students grow tired of such a diet of predigested pap. They understand perfectly well that “appreciating the concepts” is getting them nowhere except nearer to a piece of paper that entitles them to write letters after their names. But most students want more than this. They want to learn things properly so that they are in a position to feel that they can defend what they have been taught without having to resort to the authority of their teachers or the textbooks. Of course, learning things properly can be hard work. But my experience is that students seldom protest at being worked hard provided that their program of study is organized so that they quickly see that their efforts are producing tangible dividends.
哈哈，learning things properly and making sense
三、線性代數
很長時間以來，線性代數的重要性被我忽略了，還沾沾自喜的認爲自己學得不錯。大學時候好像這門課最好學，考研時它也比微積分和概率簡單，不就整整逆矩陣求求特徵值麼，好說好說。發現自己錯的離譜是後來的事了。也許線性代數的那些基本運算並不難，但其中蘊含的數學含義豐富，尤其是學到向量空間和線性變換之後，對理解很多經濟學內容大有幫助，比如計量經濟學的很多概念。我在數理經濟學那部分中推薦Angel de la Fuente這本書的一個原因是這本書第三章整章都在講些抽象概念，我從中學到了不少東西。
還是從直觀開始吧，當初學完線代之後，我基本完全不知道這東西是幹嘛用的。於是像補微積分的直觀一樣，去補習線代的直觀含義和現實應用，看了一本Jain & Gunawardena 的 , 顧名思義，又是光盤和書的結合，動畫應用圖形一頓轟炸，明白了那些數學概念在現實中是怎麼用的。這本書超簡單，數學內容估計一兩天就看完了，主要是看看以前不熟悉的各種矩陣分解，簡單的譜，以及特徵值問題中類似Cayley-Hamilton定理等。本書不涉及二次型和矩陣求導等一年級高級經濟學課程急需用到的內容，所以只能用於回顧直覺，呵呵。
正式的教材推薦兩本，簡單全面且和經濟學聯繫緊密的。Hadley 和 Dhrymes 。
Hadley的書非常經典，幾何的直觀講的很好，內容比較全，值得系統的回顧一下。
Dhrymes的書大概100多頁，全部由定理和證明堆成。作爲前本書補充的內容大概有30多頁吧，集中在各種僞逆矩陣，矩陣分解，矩陣向量化和求導。不過有個問題我一直不明白，本書講了很多僞逆矩陣（廣義逆矩陣），但之後我學了一年的高級計量，好像用到的地方少的可憐又可憐，不解。不過很有意思。
這兩本書研院圖書館都有。
好像這些內容暫時就夠用了，至於更抽象的諸如線性變換，同構（isomorphism）,線性同胚（linear homeomorphism）等，簡單的可以參考一下Angel de la Fuente的第三章，後來用到再仔細查（事實上我好像也沒後來回來過，呵呵）。
再次強調一下線性代數的幾何含義，學習計量經濟學時候那些諸如投影矩陣的東東，都和這部分內容有關，懂了幾何含義學起來會容易一些
四、概率
（一氣碼了6000字眼都花了，鼓起餘勇再碼一節）概率和統計的重要性不用強調，不好好學壓根就學不了經濟學。
概率教材多如牛毛，有得偏統計（實際上每本統計都會先講概率），有得偏隨機過程（比如Grimmett & Stirzaker那著名的《Probability and Random Process》），所以還得分開談。
先談“純概率論”，概率論的重要性不是會弄幾個分佈就搞得定的，頂頂重要的是對基本概念從直觀到抽象的把握。（說這話有點底氣不足，概率論那種隨機的概念好像從來就沒直觀過，實際上往往和直觀相悖，這點一會兒再談）
這裏的兩本書出自同一人之手，那就是俺無比崇敬滴牛人鍾開來（Kailai Chung）老師（此公彪悍的事蹟一直是K斑竹最愛的話題之一，呵呵。哪天要求他就此開個轉貼討論一下）；
《Elementary Probability Theory with Stochastic Process》和《A Course in Probability Theory》第二版，前一本書研究生院館中英文都有，中文翻譯的相當不錯。後一本好像沒有。
兩本書都注重概率論的基本概念，前一本是初級讀物，但是想讀好了也不容易，原因不是數學的，那些數學大學學過了，可能原因還在於概率論的基本概念往往不那麼直觀，雖然這本書舉了大量例子來討論直觀感覺。但是寫得真好啊，真好啊，真好啊。好像讀了不止一遍才捨得還回去，唉，好得我忍不住嘆息一聲。實在建議所有沒讀過的人讀一遍。
這裏插一句，圖書館還有本中文小冊子叫《隨機性》，屬於科普讀物一級，妙趣橫生。裏面有N多例子說明概率的推理和直觀感覺不符，隨機性真是神祕的東東啊。
第二本是“高等概率論”範圍的“初級”讀物，要求先修過一些實分析，要不沒法看。一反第一本書裏淳淳善導之文風，比古龍還簡略，共九章，從測度論開始，花了一學期在一位牛人老師清晰無比的講解下堪堪學完六章（沒學567章），饒是如此還是雲裏霧裏，做習題做的痛不欲生，唉。不過總算挺過來了，對進一步學習高等計量和數理統計幫助大的很。再多一句嘴，學測度論裏“單調類定理”的證明時我有一種老俞看到維加斯“快速離婚通道”的感覺――留着口水驚歎：“太TM精妙了！”，唉，回憶起來都忍不住又嘆一口氣。
難道就沒有“簡單”的講這些深奧概念的書？有，不過我覺得更難讀，嘿嘿。總院館有一本兩個英國人寫的書，忘了書名也懶得查，雄心勃勃想直觀的儘量用文字講解類似概率空間這種概念，淅瀝嘩啦花了將近三章密密麻麻文字的篇幅告訴你什麼“可測”啊“不可測啊”，“冪集”啊，希格馬代數是什麼東東啊。。。當初一看之下如獲至寶，以爲我這笨人有救了，結果差點讀死我，羅嗦無窮多次還是不明白，抽象就是抽象，還是學數學語言和證明懂得快。
當然有些書在這方面做的還不錯，後面講數理統計時會提到一本。
五、數理統計（碼字都碼餓了，吃點東西接着來）
數理統計是什麼東東？申請的時候老美一些網頁上的解釋讓我恍然大悟，解釋就是在“數理統計”後加個小括號，裏面註明使用微積分的統計學纔是serious的，哈哈。社會科學的統計學畢竟不同於基於自然科學ceteris paribus傳統的數理統計學，所以學數理統計之前瞭解一些統計學的基本概念十分必要，我個人一直對經濟學很好的梳理數據工作十分讚賞，描述統計絕對是大學問！（有很多這種書，類似《統計學的世界》啊等等的，以前對統計學不瞭解的XDJM這些“粗淺”的東西一定要看的）。總院館有本書，Aris Spanos , 厚厚的一大本，從頭到尾都在強調由於社會科學數據特殊性質而造成的分析方法差別，讀下來獲益匪淺。而且這本書在講解類似“概率空間”這種抽象概念時做的很好，應該說非常好，當初沒學老鍾書之前我已經對這個概念的把握已經及格了，就是由於這本書。
扯遠了，回來談數理統計。
兩本書，一本簡單一本難一些。Hogg & Craig 第五版; Casella & Berger 第二版. 前者是我本文裏所有提到的書裏唯一沒學過的一本，因爲當初看到它的時候我這部分內容已經讀別的書學完了，推薦它是因爲它風行世界，九章賣的影印本還很便宜，內容全面。
統計學的直觀無比重要，什麼隨機抽樣啊，大數定律和中心極限定理啊，各種檢驗怎麼來的啊，自由度幹嘛使的啊，各種分佈的圖形啊，甚至矩母函數能起什麼作用啊等等，這些在第一本書裏都有解答。此外，真正想直觀把握的話必須親自動手做一下看看效果，所以我強烈推薦FTP裏那個“統計學基本概念教學互動軟件”，能看到很多動畫效果，絕對過目難忘！！
第二本書是真正非常serious的數理統計學教材，有了第一本中的知識做基礎的話，讀來會快一些，但也需要花很多很多時間去做推導。以前我的那篇《學習計量經濟學：教材，手冊，軟件，數據》裏反覆強調了學習計量必須學會推導，如果這裏你認真推了的話，計量會省下不少時間。本書還有一個特點就是“現代”，什麼Bootstrap啊，MONTE CARLO啊，Robust迴歸啊等等統統登場，這些東西對於學習計量絕對少不了。學習本書時，如果你恰好還學過了老鐘的那本高等概率的話，理解起大樣本理論時會輕鬆很多。（突然想起了“淡收斂”這個概念，爲啥沒有“鹹收斂”呢，hiahiahia）
出於個人偏好，最後再添一句關於Halbert White ，如果學Wooldridge 的話，這本書是最好的預備讀物，用到的推導思路乃至符號完全一致，不奇怪，Wooldrige是White的學生（White 是 Hausman的學生，坊間瘋傳著名的Hausman檢驗實際思路是White上研究生課時提出來的，不過當時white道行淺，有了思路不會證明，最後老Hausman回家就偷偷把它做出來了，哈哈,RPWT），兩本書的前言裏都互相提到了對方，嘿嘿。
好像就剩動態經濟學了，哎呀，離完工不遠了
六、動態經濟方法
（最後一節咧，熬一下收工睡覺）這部分內容很熟悉，按理說不難寫，偏偏不知道從哪開始，想來想去決定先批兩句蔣中一那本《動態最優化》基礎，嘿嘿。說“批”也談不上，書寫得還是不錯，不過沒什麼用處，看完了別說肯定不會用動態規劃這一最重要的方法（因爲壓根書裏就沒說），連變分法能不能用我也抱疑問，而且書中用到的符號好像很奇怪，我比較傻，學過一種方法後如果將來遇見同樣的問題但符號不一樣的時候，往往就會產生沒學過的錯覺，搞得自己很沮喪，所以十分痛恨那些使用“奇怪”符號的作者，嘿嘿。
好像從學理上講，要先說說微分方程和差分方程才能進入本節主題，學過前者，後者懂點皮毛，所以還是算了，前面露怯已經夠多了。
兩本書，一本簡單一本難，內容也完全不同，前者是可微的動態優化方法，Kamien & Schwartz （應該是第二版了吧），後者是離散情況下的動態規劃方法，Stockey & LUCAS & Prescott 。（突然想起了鄒至莊教授的那次講座上我和他的交流，顯然他的Lagrange方法也應該有一席之地的，可惜我沒學過，嘿嘿）。龔六堂老師那本《動態經濟學方法》就是這兩本書的完美“嫁接”版，哈哈。
第一本很好看，用不了多久自學也能看完，章節分得很多，經濟學例子也不少（其實也不多，就是RAMSEY模型來回變）。但拿到模型會不會求解就不一定了，學動態經濟學絕對是鍛鍊計算能力的極佳機會，知道基本方法用不了兩小時，但用這方法求解模型就會往死裏算了，唉，體力活，不好整。
另一本就不好看了，不過有基本的實分析知識和老鍾那本高等概率做基礎，數學部分學得很快（這本書絕大部分內容是數學，經濟學例子也很多，但很短，大都當習題使喚了）。最後證明解存在性時使用的“壓縮映射的不動點定理”實際十分簡單（雖然預備知識學了半學期），在我看來證明微分方程解存在的那個畢卡定理的構造還要更精妙一些，嘿嘿。一樣的道理，學會定理容易，不好算啊不好算。
至於隨機動態部分就不是我能懂的了，ITO公式倒是會用，啥意思一點感覺沒有，嘿嘿。
好像還缺點什麼？對了，MATLAB，使用方法就是上網下載程序然後粘到程序窗口就OVER了，還是這個好學，哈。
