流形上的切空間

這是我學習微分流形的筆記，疏漏之處，在所難免。

切空間，算子，流形等概念都是經歷好幾個層次的抽象才形成的數學概念。對這些知識的理解與學習這些知識所花費的時間之間不是線性關係。如果不是做專業研究(做這個方向的一般也不會來CSDN看博客), 知道怎麼用，瞭解一下(也就是不求甚解)即可.
數學家寫的書，詰屈聱牙。如果沒有相關基礎，讀起來好似看天書一樣。侯先生的書[1] 中對切空間等概念講解得比較清晰(在中文參考書中)，好懂一點(相比於數學家的書)。侯先生的書是給搞相對論的那些人看的(大部分是講物理方面的東西)，僅從中摘出相關內容，記錄如下。

作用在$R^{n}$空間函數$f$上的線性微分算子

$R^{n}$空間中點$x$可以用向量表示，選定座標系()後，這個向量可以用$n$個分量$x^{i}$表示。$x^{i}$是實數，與座標的選取有關，而向量$x$本身與座標選取無關。

在$R^{n}$空間中點$x$沿$\Delta x$方向位移，可微函數$f(x)$在$R^{n}$空間中點$x$沿$\Delta x$方向的一階導數

$\delta f = \sum_{i=1}^{n}{\Delta x}^{i} \frac{\partial }{\partial x^{i}}f$

把上式等號右邊中$f$之前算符看作一個作用在函數$f$上的泛函算子
$\delta f = (\sum_{i=1}^{n}{\Delta x}^{i} \frac{\partial }{\partial x^{i}} )(f)$

$\delta = \sum_{i=1}^{n}{\Delta x}^{i} \partial_{i}$

方向導數$\delta$是作用在函數$f$ 上的微分算子，是沿位移向量$\Delta x$方向的 方向導數。

$\delta$本身與座標系選取無關， 可以表示爲沿座標線方向的方向導數 $\partial_{i}$的線性組合。 $\Delta x^{i}$ 可看做方向導數 $\delta$ 的座標分量，它正是位移向量 $\Delta x$的分量。

流形$M$上的線性微分算子

在流形$M$上做一條通過$p$點的曲線$x(t)$, 曲線$x(t)$可看做實數軸上線段$(-\epsilon, \epsilon )$到流形$M$上的可微映射

$x:(-\epsilon, \epsilon ) \rightarrow M$

$t \rightarrow x(t) \rightarrow M$

利用此曲線$x(t)$定出一個過$p$點的方向。令$p=x(0)$.
對流形$M$上一個可微函數$f \in F_{p}(M)$,

在 曲線$x(t)$上，此函數爲$f(x(t))$，則此函數在$p$點沿曲線的方向導數爲

$X_{p}f = \frac{d}{dt}f(x(t))$

在$p$點鄰域選局部座標$x = (x^{1}, \cdots, x^{n} )$

$X_{p}f = \sum_{i=1}^{n} \frac{dx^{i}}{dt} \frac{\partial}{\partial x^{i}} f$

如果令$t = x^{i}$，則得到沿座標線方向的切向量 $\partial_{i} = \frac{\partial}{\partial x^{i}}$
集合$ { \partial_{i}: i = 1, \cdots, n }$是切向量 $X_{p}$的座標基矢。

$\frac{d x^{i} }{ dt} = \underset{\Delta t \rightarrow 0}{lim} \frac{\Delta x^{i}}{\Delta t}$

切向量$X_{p}$的分量$ \frac{d x^{i} }{ dt}$ 就是 曲線$x(t)$在$p$點切向量的分量。

過$p$點所有切向量的集合構成 流形$M$在$p$點上的切空間$T_{p}M$

參考文獻

[1] 候伯元, 候伯宇. 物理學家用微分幾何. 科學出版社.