聯絡

這是本人學習微分流形的筆記，疏漏之處，在所難免

聯絡

直觀上講，聯絡就是使得在流形上進行”微分”的手段.

歐氏空間中方向導數.

設v$v$ 是p∈Rn$p\in R^n$ 處的一個向量. f$f$ 是p$p$ 點鄰域內的一個可微函數, 則方向導數Dvf$D_{v}f$ 爲:

Dvf=limt→0f(p+tv)−f(p)tv$$D_{v}f=li{m}_{t\to 0}\frac{f(p+tv)-f(p)}{tv}$$

設X$X$ 是 p$p$ 點鄰域內的一個向量場, 則X$X$ 可分解爲 n$n$ 個 C∞$C^{\mathrm{\infty }}$ 函數

X=∑i=1nXi∂∂xi$$X=\sum _{i=1}^n{X}^i\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^i}$$

向量場X$X$ 沿v$v$ 的方向導數定義爲

DvX=(DvX1,⋯,DvXn)$$D_{v}X=(D_v{X}^1,\cdots ,D_v{X}^n)$$

即

DvX=∑i=1nDvXi∂∂xi$$D_{v}X=\sum _{i=1}^n{D}_v{X}^i\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^i}$$

如果V$V$ 是p$p$ 的鄰域中一個向量場，使得V(p)=v$V(p)=v$ ,定義一個向量場DvX$D_{v}X$

(DVX)(p)=DvX$$(D_{V}X)(p)=D_{v}X$$

滿足以下屬性
-(1) DfV+gWX=fDVX+gDWX$D_{fV+gW}X=f{D}_{V}X+g{D}_{W}X$
-(2) DV(fX)=(DVf)X+fDV(X)$D_V(fX)=(D_{V}f)X+f{D}_V(X)$
-(3) DV(X+Y)=DV(X)+DV(Y)$D_V(X+Y)=D_V(X)+D_V(Y)$
其中V,W,X,Y$V,W,X,Y$ 是Rn$R^n$ 中向量場，f,g$f,g$ 是Rn$R^n$ 　上函數

Rm$R^m$ 及其子流形上的聯絡

[4] 135
設(xi,⋯,xm)$(x^i,\cdots ,x^m)$ 是歐氏空間Rm$R^m$ 中點的笛卡爾座標。 自然標架∂∂xi$\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^i}$ 構成Rm$R^m$ 中整體定義的基向量場，Rm$R^m$ 中向量場Y$Y$ 可表示爲

Y(x)=Yi(x)∂∂xi$$Y(x)=Y^i(x)\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^i}$$

設X(x)=Xi(x)∂∂xi$X(x)=X^i(x)\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^i}$ 是Rm$R^m$ 中任一向量場，對於任一點p∈Rm$p\in R^m$ ,Xp=X(p)=Xi(p)∂∂xi$X_p=X(p)=X^i(p)\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^i}$ ,向量場　Y$Y$ 在　p$p$ 點沿向量Xp$X_p$ 的方向導數

DXpY=(XpYi)∂∂xi=(Xi(x)∂Yi∂xi)∂∂xi$$D_{X_p}Y=(X_p{Y}^i)\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^i}=(X^i(x)\frac{\mathrm{\partial }{Y}^i}{\mathrm{\partial }{x}^i})\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^i}$$

C∞$C^{\mathrm{\infty }}$ 流形M$M$ 上一個聯絡就是 對每一對C∞$C^{\mathrm{\infty }}$ 向量場V,X$V,X$ ，指定一個新C∞$C^{\mathrm{\infty }}$ 向量場DvX$D_{v}X$ ，使它具有上述３條屬性.

給定一個聯絡後，向量場DvX$D_{v}X$ 可以看作X$X$ 沿 V$V$ 的協變導數
在任意局部座標鄰域內，總可以把歐氏空間的方向導數當作局部聯絡

在流形M$M$ 上給定的黎曼度量g$g$ ，存在M$M$ 上唯一的聯絡D$D$ ,對M$M$ 上任意向量場X,Y,Z$X,Y,Z$ 滿足
-X<Y,Z>=<DXY,Z>+<Y,DXZ>$X<Y,Z>=<D_{X}Y,Z>+<Y,D_{X}Z>$
-DXY−DYX−[X,Y]=0$D_{X}Y-D_{Y}X-[X,Y]=0$
稱爲度量g$g$ 的Levi-Civita 聯絡

協變微分

[2]在流形M$M$ 上給定聯絡後，可以比較張量場K∈TpM$K\in T_{p}M$ 在p$p$ 點鄰域的改變，可以分析張量場對底流形座標進行微分運算，即計算ΔkΔx$\frac{\mathrm{\Delta }k}{\mathrm{\Delta }x}$ ，所得結果仍爲張量場，與所選局域座標系及局域標架場無關。

Δ:TsM→Ts+1M$$\mathrm{\Delta }:T_{s}M\to T_{s+1}M$$

K→∇K=δKδxidxi$$K\to \mathrm{\nabla }K=\frac{\delta K}{\delta x^i}d{x}^i$$

∇K∈Ts+1M$\mathrm{\nabla }K\in T_{s+1}M$ 是張量場 K∈TsM$K\in T_{s}M$ 絕對協變微分，簡稱協變微分. 它是流形張量從截面間映射，決定流形的局域線性結構。

纖維叢上聯絡

[2]p408

“從微分幾何觀點看，場就是纖維叢的截面，纖維叢的截面是流形上函數的推廣。”欲對纖維叢上截面微分，必須通過聯絡定義各纖維與鄰近纖維之間的關係。含有聯絡的協變導數是將纖維叢截面映射到鄰近纖維叢截面上的微分算子。

在流形M$M$ 上給定曲線x(τ)$x(\tau )$ ,此曲線每一點有沿着曲線的切向量

X=ddτ=dxidτ∂∂τ$$X=\frac{d}{d\tau }=\frac{d{x}^i}{d\tau }\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\tau }$$

如果流形M$M$ 上存在切向量場Y=ηi∂∂xi$Y={\eta }^i\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^i}$ ，在曲線x(τ)$x(\tau )$ 上

∇XY=dxidτ(∂ηk∂xi+Γkijηj)∂∂xi=0$${\mathrm{\nabla }}_{X}Y=\frac{d{x}^i}{d\tau }(\frac{\mathrm{\partial }{\eta }^k}{\mathrm{\partial }{x}^i}+{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{\eta }^j)\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}^i}=0$$

dηkdτ+Γkijηjdxidτ=0$$\frac{d{\eta }^k}{d\tau }+{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{\eta }^j\frac{d{x}^i}{d\tau }=0$$

則稱Y$Y$ 在曲線x(τ)$x(\tau )$ 上平行輸運。聯絡定義了任意切場 Y$Y$ 沿着某一方向X$X$ 的平行輸運。

切場 Y$Y$ 爲切從截面，將向量場Y$Y$ 限制在流形M$M$ 中曲線x(τ)$x(\tau )$ 上，即通過曲線x(τ)$x(\tau )$ 上個纖維Fx$F_x$ 與截面Y$Y$ 的交，
得到了曲線x(τ)$x(\tau )$ 的提升，若此提升滿足上式，則稱爲曲線的水平提升。

給定聯絡就是給定曲線的水平提升。

測地線

平行輸運自己切矢量的曲線稱爲測地線

∇XX=0$${\mathrm{\nabla }}_{X}X=0$$

取ηk−dxkdt${\eta }^k-\frac{d{x}^k}{dt}$ ，測地線方程爲

d2xkdt2+Γkijdxidτdxkdt=0$$\frac{d^2{x}^k}{d{t}^2}+{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k\frac{d{x}^i}{d\tau }\frac{d{x}^k}{dt}=0$$

[5]p241 曲面S$S$ 上測地曲率恆等於零的曲線稱爲曲面S$S$ 上的測地線. 平面上的測地線就是直線，因此曲面上測地線是平面上直線概念的推廣. 曲面S$S$ 上的測地線.要麼是直線，要麼它的主法向量處處是曲面S$S$ 的法向量。

設正則參數曲面S$S$ 的方程爲r=r(u1,u2)$r=r(u^1,u^2)$ , C$C$ 是曲面S$S$ 上的一條曲線。C$C$ 的參數方程可寫爲

r=r(s)=r(u1(s),u2(s))$$r=r(s)=r(u^1(s),u^2(s))$$

其中s$s$ 是曲線C$C$ 的弧長參數。
在曲線C$C$ 上建立一個正交標架場{r;e1,e2,e3}$\{r;e_1,e_2,e_3\}$

e1=dr(s)ds=α(s)$$e_1=\frac{dr(s)}{ds}=\alpha (s)$$

e3=ns$$e_3=n_s$$

e2=e3×e1=ns×α(s)$$e_2=e_3\times e_1=n_s\times \alpha (s)$$

曲線C$C$ 上正交標架場{r;e1,e2,e3}$\{r;e_1,e_2,e_3\}$ 的運動公式

dr(s)ds=e1$$\frac{dr(s)}{ds}=e_1$$

de1(s)ds=κge2+κne3$$\frac{d{e}_1(s)}{ds}={\kappa }_g{e}_2+{\kappa }_n{e}_3$$

de2(s)ds=−κge1+τge3$$\frac{d{e}_2(s)}{ds}=-{\kappa }_g{e}_1+{\tau }_g{e}_3$$

de3(s)ds=κne1+τge2$$\frac{d{e}_3(s)}{ds}={\kappa }_n{e}_1+{\tau }_g{e}_2$$

κg=de1(s)ds⋅e2=r′′(s)⋅(ns×α(s))=r′′(s)⋅(ns×r′(s))$${\kappa }_g=\frac{d{e}_1(s)}{ds}\cdot e_2=r^{″}(s)\cdot (n_s\times \alpha (s))=r^{″}(s)\cdot (n_s\times r^{\prime }(s))$$

κg${\kappa }_g$ 稱爲 曲面S$S$ 上曲線C$C$ 的測地曲率。

測地曲率的幾何解釋:
設曲面S$S$ 上正則曲線C$C$ 通過點P$P$ ，將曲線C$C$ 投影到曲面S$S$ 在點P$P$ 的切平面上，該投影曲線在點P$P$ 的相對曲率就是曲線C$C$ 的測地曲率。

流形M$M$ 上的黎曼度量

流形M$M$ 上的每一個切向量空間Mx$M_x$ ，指定Mx$M_x$ 中的一個向量內積gx(,)$g_x(,)$ .
對於任意一個局部座標系(x1,⋯,xn)$(x^1,\cdots ,x^n)$ , 令

gij(x)=gx(∂∂xi,∂∂xj)$$g_{ij}(x)=g_x(\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}_i},\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{x}_j})$$

Reference

[1] 伍鴻熙, 沈純理, 虞言林. 黎曼幾何初步. 高等教育出版社.
[2] 候伯元, 候伯宇. 物理學家用微分幾何. 科學出版社.
[3] http://blog.sciencenet.cn/blog-2472277-978252.html
[4] 白正國.　黎曼幾何初步
[5] 陳維桓. 微分幾何. [北京] 北京大學出版社, 2006.
http://www.toutiao.com/a6285808339251216641/
http://www.toutiao.com/a6291681042059936002/