莫隊算法——解決序列上詢問的利器

問題：
有一個長爲N序列，有M個詢問：在區間[L,R]內，出現了多少個不同的數字。（序列中所有數字均小於K）。題目會給出K。

莫隊算法就是滋磁解決這類問題的離線算法。（其實很簡單）

首先來看看暴力：
由於暴力還是比較水的，所以直接上：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std ;
const int maxn = 50010 ;
int n, m, a[maxn] ;
bool vis[maxn] ;
int main() {
    int i, j, k, query_time, L, R ;
    cin >> n >> query_time >> k ;
    for ( i = 1 ; i <= n ; i ++ ) 
        cin >> a[i] ;
    while ( query_time -- ) {
        cin >> L >> R ;
        memset ( vis, 0, sizeof(vis) ) ;
        for ( i = L ; i <= R ; i ++ ) 
            vis[a[i]] = true ;
        int ans = 0 ;
        for ( i = 0 ; i <= k ; i ++ ) 
            ans += vis[i] ;
        cout << ans << endl ;
    }
    return 0 ;
}

這個複雜度顯然是 O(N2) 的。有些題目的範圍可能到100000或者更大，那麼顯然就不能了。

這裏還有一種稍作改進的方法，比上述做法大多數情況要快些。

void add ( int pos ) {
    ++cnt[a[pos]] ;
    if ( cnt[a[pos]] == 1 ) 
        ++ answer ;
}
void remove ( int pos ) {
    -- cnt[a[pos]] ;
    if ( cnt[a[pos]] == 0 ) 
        -- answer ;
}
void solve() {
    int curL = 1, curR = 0 ; // current L R 
    for ( each query [L,R] ) {
        while ( curL < L ) 
            remove ( curL++ ) ;
        while ( curL > L ) 
            add ( --curL ) ;
        while ( curR < R ) 
            add ( ++curR ) ;
        while ( curR > R ) 
            remove ( curR-- ) ;
        cout << answer << endl ;
        // Warning : please notice the order "--","++" and "cur" ;
    }
}

其實還算好理解的，如果不明白，隨便搞組數據手玩一下就明白了

手玩數據：
6 4 3
1 3 2 1 1 3
1 4
2 6
3 5
5 6
輸出答案：
3
2
2

不幸的是，雖然這個東西比我們的暴力要快，但是它的時間複雜度仍然是 O(N2) 的。
但好消息是，這個東西可以算是莫隊算法的核心了。（你在逗我笑？？？？）
其實是真的 :）

莫隊算法是怎麼做的呢？
考慮到上述改進的辦法的效率低下主要是因爲curL和curR兩個指針前前後後跑來跑去太多次。於是，我們的做法就是不要讓他們跑太多沒用的距離。
我們可以通過離線下所有的詢問，然後通過某種排序，讓兩個指針跑動的距離儘量變少。具體的做法是把N劃分成N−−√ 段，每段長度都是N−−√ ，然後在把所有詢問按照L端點排序，看各個詢問被劃分到哪一塊裏。接着，對於各個劃分出的段，在各自的段裏，將它包含的所有區間再按照R端點排序。
舉個例子：假設我們有3個長度爲3的段（0-2,3-5,6-8）：
{0, 3} {1, 7} {2, 8} {7, 8} {4, 8} {4, 4} {1, 2}
先根據所在段落的編號重排
{0, 3} {1, 7} {2, 8} {1, 2} | {4, 8} {4, 4} | {7, 8}
現在按R的值重排
{1, 2} {0, 3} {1, 7} {2, 8} | {4, 4} {4, 8} | {7, 8}

然後？還要然後嗎？就用剛剛那個算法來玩就好了。畢竟我們只是交換了一下詢問的順序而已，並沒有對算法做什麼改動。

對於這個的複雜度嘛，其實是比較鬼畜的，就這麼改了下順序，然後就變成了O(N∗N−−√) 的

上面代碼所有查詢的複雜性是由4個while循環決定的。前2個while循環是curL的移動總量”，後2個while循環是curR的移動總量”。這兩者的和將是總複雜度。
有趣的是。先考慮右指針：對於每個塊，查詢是遞增的順序排序，所以右指針curR按照遞增的順序移動。在下一個塊的開始時，指針是儘量靠右的，將移動到下一個塊中的最小的R處。這意味着對於一個給定的塊，右指針移動的量是 O(N) 。我們有O(N−−√) 個塊。所以總共是O(N∗N−−√) 。
關於左指針：所有查詢的左指針都在同一段中，當我們完成一個查詢到下一個查詢時，左指針會移動，但由於兩次詢問的L在同一塊中，此移動是
O(N−−√) 的。所以，左指針的移動總量是O(M∗N−−√) 。
所以，總複雜度就是O((N+M)∗N−−√) ，就當做是O(N∗N−−√) 吧。
是不是很簡單的吶2333

接下來給幾個例題：

例題1：BZOJ3781 小B的詢問

Description

小B有一個序列，包含N個1~K之間的整數。他一共有M個詢問，每個詢問給定一個區間[L..R]，求Sigma(c(i)^2)的值,其中i的值從1到K，其中c(i)表示數字i在[L..R]中的重複次數。小B請你幫助他回答詢問。

Input

第一行，三個整數N、M、K。
第二行，N個整數，表示小B的序列。
接下來的M行，每行兩個整數L、R。

Output

M行，每行一個整數，其中第i行的整數表示第i個詢問的答案。

Sample Input

6 4 3
1 3 2 1 1 3
1 4
2 6
3 5
5 6

Sample Output

6
9
5
2

HINT

對於全部的數據，1<=N、M、K<=50000

很裸的吧~

/**************************************************************
    Source Code : GoAway
    Date : 2017-02-06
****************************************************************/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <vector>
#include <map>
#include <stack>
#include <queue>
#include <set>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <ctime>

using namespace std ;
const int zhf = 1<<30 ;
const int maxn = 50010, tim = 250 ;
bool Read ( int &x ) {
    bool f = 0 ; x = 0 ; char c = getchar() ; 
    while ( !isdigit(c) ) {
        if ( c == '-' ) f = 1 ;
        if ( c == EOF ) return false ;
        c = getchar() ;
    }
    while ( isdigit(c) ) {
        x = 10 * x + c - '0' ;
        c = getchar() ;
    }
    if ( f ) x = -x ;
    return true ;
}

struct query {
    int L, R, id ;
    friend bool operator < ( query a, query b ) {
        return (a.L/tim) == (b.L/tim) ? a.R < b.R : a.L < b.L ;
    }
} e[maxn] ;

int n, m, a[maxn], cnt[maxn], ans[maxn], answer ;
void add ( int pos ) {
    answer += (cnt[a[pos]]++)<<1|1 ;
}
void remove ( int pos ) {
    answer -= (--cnt[a[pos]])<<1|1 ;
}

int main() {
    int i, j, k, curL = 1, curR = 0 ;
    Read(n) ; Read(m) ; Read(j) ;
    for ( i = 1 ; i <= n ; i ++ ) 
        Read(a[i]) ;
    for ( i = 1 ; i <= m ; i ++ ) {
        Read(e[i].L) ;
        Read(e[i].R) ;
        e[i].id = i ;
    }
    sort ( e+1, e+m+1 ) ;
    for ( i = 1 ; i <= m ; i ++ ) {
        int L = e[i].L, R = e[i].R ;
        while ( curL < L ) 
            remove ( curL++ ) ;
        while ( curL > L ) 
            add ( --curL ) ;
        while ( curR < R ) 
            add ( ++curR ) ;
        while ( curR > R ) 
            remove ( curR-- ) ;
        ans[e[i].id] = answer ;
    }
    for ( i = 1 ; i <= m ; i ++ ) 
        printf ( "%d\n", ans[i] ) ;
    return 0 ;
}

例題2：SDOI2009 HH的項鍊洛谷1972

Description

HH有一串由各種漂亮的貝殼組成的項鍊。HH相信不同的貝殼會帶來好運，所以每次散步完後，他都會隨意取出一段貝殼，思考它們所表達的含義。HH不斷地收集新的貝殼，因此，他的項鍊變得越來越長。有一天，他突然提出了一個問題：某一段貝殼中，包含了多少種不同的貝殼？這個問題很難回答。。。因爲項鍊實在是太長了。於是，他只好求助睿智的你，來解決這個問題。

Input

第一行：一個整數N，表示項鍊的長度。第二行：N個整數，表示依次表示項鍊中貝殼的編號（編號爲0到1000000之間的整數）。第三行：一個整數M，表示HH詢問的個數。接下來M行：每行兩個整數，L和R（1 ≤ L ≤ R ≤ N），表示詢問的區間。

Output

M行，每行一個整數，依次表示詢問對應的答案。

Sample Input

6
1 2 3 4 3 5
3
1 2
3 5
2 6

Sample Output

2
2
4

HINT

對於20%的數據，N ≤ 100，M ≤ 1000；
對於40%的數據，N ≤ 3000，M ≤ 200000；
對於100%的數據，N ≤ 50000，M ≤ 200000。

還是很裸的2333

/**************************************************************
    Source Code : GoAway
    Date : 2017-02-06
****************************************************************/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <vector>
#include <map>
#include <stack>
#include <queue>
#include <set>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <ctime>

using namespace std ;
const int zhf = 1<<30 ;
const int maxn = 1000010 ;
bool Read ( int &x ) {
    bool f = 0 ; x = 0 ; char c = getchar() ;
    while ( !isdigit(c) ) {
        if ( c == '-' ) f = 1 ;
        if ( c == EOF ) return false ;
        c = getchar() ;
    }
    while ( isdigit(c) ) {
        x = 10 * x + c - '0' ;
        c = getchar() ;
    }
    if ( f ) x = -x ;
    return true ;
}

int n, m, cnt[maxn], a[maxn], answer, ans[maxn], tim ;
struct query {
    int l, r, id ;
    friend bool operator < ( query a, query b ) {
        return (a.l/tim) == (b.l/tim) ? a.r < b.r : a.l<b.l ;
    }
} e[maxn] ;
void add ( int pos ) {
    if ( (++cnt[a[pos]]) == 1 ) ++ answer ;
}
void remove ( int pos ) {
    if ( (--cnt[a[pos]]) == 0 ) -- answer ;
}
int main() {
    int i, j, k, curL = 1, curR = 0 ;
    Read(n) ;
    for ( i = 1 ; i <= n ; i ++ ) 
        Read(a[i]) ;
    Read(m) ; tim = sqrt(m) ;
    for ( i = 1 ; i <= m ; i ++ ) {
        Read(e[i].l) ;
        Read(e[i].r) ;
        e[i].id = i ;
    }
    sort(e+1,e+m+1) ;
    for ( i = 1 ; i <= m ; i ++ ) {
        int L = e[i].l, R = e[i].r ;
        while ( curL < L ) 
            remove(curL++) ;
        while ( curL > L ) 
            add(--curL) ;
        while ( curR < R ) 
            add(++curR) ;
        while ( curR > R ) 
            remove(curR--) ;
        ans[e[i].id] = answer ;
    }
    for ( i = 1 ; i <= m ; i ++ ) 
        printf ( "%d\n", ans[i] ) ;
    return 0 ;
}

例題3：2009國家集訓隊小Z的襪子清橙OJ1206

問題描述
　　作爲一個生活散漫的人，小Z每天早上都要耗費很久從一堆五顏六色的襪子中找出一雙來穿。終於有一天，小Z再也無法忍受這惱人的找襪子過程，於是他決定聽天由命……
　　具體來說，小Z把這N只襪子從1到N編號，然後從編號L到R(L 儘管小Z並不在意兩隻襪子是不是完整的一雙，甚至不在意兩隻襪子是否一左一右，他卻很在意襪子的顏色，畢竟穿兩隻不同色的襪子會很尷尬。
　　你的任務便是告訴小Z，他有多大的概率抽到兩隻顏色相同的襪子。當然，小Z希望這個概率儘量高，所以他可能會詢問多個(L,R)以方便自己選擇。
輸入格式
　　輸入文件第一行包含兩個正整數N和M。N爲襪子的數量，M爲小Z所提的詢問的數量。
　　接下來一行包含N個正整數Ci，其中Ci表示第i只襪子的顏色，相同的顏色用相同的數字表示。
　　再接下來M行，每行兩個正整數L，R表示一個詢問。
輸出格式
　　輸出文件包含M行，對於每個詢問在一行中輸出分數A/B表示從該詢問的區間[L,R]中隨機抽出兩隻襪子顏色相同的概率。若該概率爲0則輸出0/1，否則輸出的A/B必須爲最簡分數。（詳見樣例）
樣例輸入
6 4
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6
樣例輸出
2/5
0/1
1/1
4/15
樣例說明
　　詢問1：共C(5,2)=10種可能，其中抽出兩個2有1種可能，抽出兩個3有3種可能，概率爲(1+3)/10=4/10=2/5。
　　詢問2：共C(3,2)=3種可能，無法抽到顏色相同的襪子，概率爲0/3=0/1。
　　詢問3：共C(3,2)=3種可能，均爲抽出兩個3，概率爲3/3=1/1。
　　注：上述C(a, b)表示組合數，組合數C(a, b)等價於在a個不同的物品中選取b個的選取方案數。
數據規模和約定
　　30%的數據中 N,M ≤ 5000；
　　60%的數據中 N,M ≤ 25000；
　　100%的數據中 N,M ≤ 50000，1 ≤ L < R ≤ N，Ci ≤ N。

這道題倒是有些需要想想。
但是有一個神奇的事情：C(N,M)=N!M!∗(N−M)!
那麼C(N,2)呢？
這不就是一個∑N−1i=1i 嘛？
（有沒有感覺自己~~被續了一秒~~）

/**************************************************************
    Source Code : GoAway
    Date : 2017-02-06
****************************************************************/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <vector>
#include <map>
#include <stack>
#include <queue>
#include <set>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <ctime>
#define ll long long
using namespace std ;
const ll zhf = 1<<30 ;
const ll maxn = 50010 ;
bool Read ( ll &x ) {
    bool f = 0 ; x = 0 ; char c = getchar() ;
    while ( !isdigit(c) ) {
        if ( c == '-' ) f = 1 ;
        if ( c == EOF ) return false ;
        c = getchar() ;
    }
    while ( isdigit(c) ) {
        x = 10 * x + c - '0' ;
        c = getchar() ;
    }
    if ( f ) x = -x ;
    return true ;
}
ll tim ;
struct query {
    ll L, R, id ;
    friend bool operator < ( query a, query b ) {
        return (a.L/tim) == (b.L/tim) ? a.R < b.R : a.L < b.L ;
    }
} e[maxn] ;
ll gcd ( ll x, ll y ) {
    return y ? gcd ( y, x%y ) : x ;
}
struct Answer {
    ll x, y ;
    void out() {
        if ( !x ) puts("0/1") ;
        else {
            ll d = gcd(x, y) ;
            x /= d ; y /= d ;
            printf ( "%lld/%lld\n", x, y ) ;
        }
    }
} ans[maxn] ;

ll n, m, a[maxn], cnt[maxn], answer ;
void add ( ll pos ) {
    ++ cnt[a[pos]] ;
    if ( cnt[a[pos]] > 1 ) 
        answer += cnt[a[pos]] - 1 ;
}
void remove ( ll pos ) {
    -- cnt[a[pos]] ;
    if ( cnt[a[pos]] > 0 ) answer -= cnt[a[pos]] ;
}
ll sum ( ll x ) { return x*(x+1)/2 ; }
int main() {
    ll i, j, k, curL = 1, curR = 0 ;
    Read(n) ; Read(m) ;
    tim = sqrt(m) ;
    for ( i = 1 ; i <= n ; i ++ ) 
        Read(a[i]) ;
    for ( i = 1 ; i <= m ; i ++ ) {
        Read(e[i].L) ; Read(e[i].R) ;
        e[i].id = i ;
    }
    sort ( e+1, e+m+1 ) ;
    for ( i = 1 ; i <= m ; i ++ ) {
        ll L = e[i].L, R = e[i].R ;
        while ( curL < L ) 
            remove ( curL++ ) ;
        while ( curL > L ) 
            add ( --curL ) ;
        while ( curR < R ) 
            add ( ++curR ) ;
        while ( curR > R ) 
            remove ( curR-- ) ;
        ans[e[i].id] = (Answer){answer,sum(R-L)} ;
    }
    for ( i = 1 ; i <= m ; i ++ ) 
        ans[i].out() ;
    return 0 ;
}

其實莫隊還可以套上樹狀數組或者在一棵樹上搞的，但是這篇文章就簡單先介紹下啦~
要是俺有空就出莫隊的續集，嘿嘿~

可修改的莫隊戳這裏

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莫隊算法——解決序列上詢問的利器

例題1：BZOJ3781 小B的詢問

Description

Input

Output

Sample Input

Sample Output

HINT

例題2：SDOI2009 HH的項鍊洛谷1972

Description

Input

Output

Sample Input

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HINT

例題3：2009國家集訓隊小Z的襪子清橙OJ1206

工作中用到的腳本合集

24-5-18 X

HDU 1754 I Hate It 線段樹 && Splay && zkw線段樹

【NOI2014】起牀困難綜合症解題報告

洛谷 P1282 多米諾骨牌動態規劃

POJ 3621 最優比率生成環二分求解

APIO2015 Bali Sculptures UOJ111 BZOJ4070

https://yachay.unat.edu.pe/blog/index.php?comment_area=format_blog&comment_component=blog&comment_co

linux以太網驅動總結

莫隊算法——解決序列上詢問的利器

例題1：BZOJ3781 小B的詢問

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Output

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例題2：SDOI2009 HH的項鍊 洛谷1972

Description

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Output

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例題3：2009國家集訓隊 小Z的襪子 清橙OJ1206

例題2：SDOI2009 HH的項鍊洛谷1972

例題3：2009國家集訓隊小Z的襪子清橙OJ1206