筆記-徹底理解樣本方差爲何除以n-1

對，https://blog.csdn.net/Hearthougan/article/details/77859173，的劃重點，以及解讀：

原文非常優秀，以下內容是我的重新理解，包含大量原文直接摘過來的內容。

無偏估計的意義是：在多次重複下，它們的平均數接近所估計的參數真值。

首先定義總體樣本是N（通常是不可全部獲得的，比如全世界人口的身高值）。抽樣樣本是x1，x2...xi。

 

設樣本均值爲，樣本方差爲，總體均值爲，總體方差爲，那麼樣本方差有如下公式：

爲什麼除n-1,而不是n。爲什麼n-1是無偏估計。

答：因爲樣本方差等價於，總體方差乘（1-1/n）。減去的部分（σ^2*1/n），實質上是抽樣過程方差，也就是每次的抽樣的樣本均值，與總體均值μ的方差。

過程：變換求解樣本方差的過程，得到，樣本方差（S^2)=總體方差（σ^2）-抽樣均值的方差（σ^2*1/n）

推導結果：

步驟一：

 

步驟二：

爲什麼var(X拔)=σ^2*1/n 。設X爲隨機變量，X1,X2,...Xi,...,Xn爲其n個樣本，DX爲方差。 根據方差的性質，有D(X+Y)=DX+DY，以及D(kX)=k^2*DX，其中X和Y相互獨立，k爲常數。 於是D(ΣXi/n)=ΣD(Xi)/(n^2)=DX/n