HDU多校第六場 1007 Getting Your Money Back —— DP + 單調優化

題目鏈接：點我啊╭(╯^╰)╮

題目大意：

    你的銀行賬戶餘額在 $[x,y]$ 範圍內
    你需要把它全部取出來，若取 $x$
    若當前餘額 $≥x$，則耗費 $a$ 元取出 $x$
    若當前餘額 $＜x$，則耗費 $b$ 元，取出失敗
    問全取出最壞情況下的最低耗費

解題思路：

    假設 $a == b$，那麼很明顯是二分
    每次取中點，這樣一定最貪心
    問題在於 $a ≠ b$，那麼中點就不一定是最貪心的
    所以要枚舉中間每一個點

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    發現答案與區間長度 $y-x$ 有關，與 $[x,y]$ 無關
    但是發現 $x = 0$ 時，當我們取到 $1$ 時，無論成功失敗，$0$ 都不需要再取
    如果餘額在 $[1,y]$ ，當我們取到 $2$ 時，如果失敗，還要取 $1$
    所以分兩種情況DP：
    $dp[i][0]$ 表示 左端點爲 $0$ ，長度爲 $i$ 的答案， $dp[i][1]$ 則表示左端點不爲 $0$
    $dp[i][0] = min( max(dp[j-1][0] + b, dp[i-j][0] + a) )$
    $dp[i][1] = min( max(dp[j-1][1] + b, dp[i-j][0] + a) )$

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    枚舉 $j$ ，若 $j$ 失敗，則範圍變爲 $[x,j-1]$
    若 $j$ 成功，則變爲 $[j-j, i-j] = [0, i-j]$

    這樣的 $dp$ 是 $n^2$ 的，很明顯看出來區間長度越長，答案越大
    也就是 $dp[i][0]$ 單調不減，那麼 $max$ 裏的函數就是一個單調不增，一個單調不減
    所以 $max(dp[j-1][0] + b, dp[i-j][0] + a)$ ，就是先減後增
    所以對與某一個 $i$ ，設其決策點爲 $j$
    易得對於 $＞i$ 的點，其決策點 $j$ 只會往後移
    均攤時間複雜度： $O(n)$

核心：DP + 單調優化

#include<bits/stdc++.h>
#define rint register int
#define deb(x) cerr<<#x<<" = "<<(x)<<'\n';
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 2e5 + 5;
int T, x, y, a, b; 
ll dp[maxn][2];

ll slope0(int j, int i){
	return max(dp[j-1][0] + b, dp[i-j][0] + a);
}
ll slope1(int k, int i){
	return max(dp[k-1][1] + b, dp[i-k][0] + a);
}

int main() {
	scanf("%d", &T);
	while(T--){
		scanf("%d%d%d%d", &x, &y, &a, &b);
		int n = y - x;
		dp[0][0] = 0, dp[0][1] = a;
		for(int i=1, j=1, k=1; i<=n; i++){
			while(j<i && slope0(j+1, i) <= slope0(j, i)) j++;
			while(k<i && slope1(k+1, i) <= slope1(k, i)) k++;
			dp[i][0] = slope0(j, i), dp[i][1] = slope1(k, i);
		}
		printf("%lld\n", dp[n][x>0]);
	}
}