09-02 HDU_Steps2.3 遞推,高精度,卡特蘭數 HDU1002 HDU103 HDU1018 HDU1130 HDU1131 HDU1133 HDU1134 HDU1267

這幾天一直在做題,沒有抽出時間來寫總結..HDU的Steps做到了第六節了,溫習的一些知識點,也學到了不少新東西..加油,爭取在省賽前能儘量多學一些!!

STEPS 2.3的題目基本都是遞推或者大數,當然這兩者常常是結合在一起的,因爲遞推尤其像卡特蘭數之類的,很容易得到一個非常大的數值,一般簡單的只有加法的用CPP就可以了,懶的去啓慢吞吞的Eclipse..當然了,複雜的大數運算還是用JAVA比較好一些,畢竟容易寫,也不會出錯..

2.3.1 HDU1002 A+BⅡ入門大數

主要代碼

for(int i=0;i<l1;i++)i1[i]=s1[l1-i-1]-'0';
		for(int i=0;i<l2;i++)i2[i]=s2[l2-i-1]-'0';
		 
		for(int i=0;g!=0||i<l1||i<l2;i++){
			ans[i]=(i1[i]+i2[i]+g)%10;
			g=(i1[i]+i2[i]+g)/10;
			l3++; 
		}

2.3.2 HDU1063 Exponentiation 高精度冪運算

Java水過,不過要注意幾個方法的調用,去掉末尾和開頭0,並且轉成字符串顯示,否則會用默認的科學計數法顯示

import java.math.BigDecimal;
import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;
public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		new Main();
	}
	public Main(){
		BigDecimal r;
		int n;
		Scanner sc=new Scanner(System.in);
		while(sc.hasNext()){
			r=sc.nextBigDecimal();
			n=sc.nextInt();
                        //去末尾0,轉成字符串
			String st=r.pow(n).stripTrailingZeros().toPlainString();
			int ind=0;
			while(true){
				if(st.charAt(ind)!='0')break;
				ind++;
			}
			st=st.substring(ind);
			System.out.println(st);
		}
	}
}

2.3.3 HDU1018 Big Number 求N!位數

一個數的位數可以用Log(N)+1得出(底爲10),證明很簡單,N可以寫成a*10^n,a爲小於10的實數,而N的位數就是n+1

f(N!)=Log(N!)+1=Log(N)+log(N-1)+...Log(1)+1

#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
/*
	F(N)=log(N)/log(10)+1 數與位數的關係
	F(N!)=(log(N)+log(N-1)+...+log(1))/log(10)+1 
*/
int solve(int n){
	double r=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)r+=log(i);
	return (int)(r/log(10))+1;	
}
int main(){
	int cas,n;
	scanf("%d",&cas);
	while(cas--){
		scanf("%d",&n);
		printf("%d\n",solve(n));
	}
}

2.3.4 HDU1130 How Many Trees

樹的個數=左樹的總數*右樹的總數,即d[n]=d[0]d[n-1]+d[1]d[n-2]+....+d[n-1][0] 

卡特蘭數,Java水過,可以求出公式.我沒有求,直接用遞歸寫的.跟記憶化搜索的思想有些類似

import java.math.BigDecimal;
import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;

public class Tes {
	public static void main(String[] args) {
		new Tes();
	}
	//d[n]=d[0]d[n-1]+d[1]d[n-2]+....+d[n-1][0]
	BigInteger d[]=new BigInteger[105];
	public Tes(){
		for(int i=0;i<105;i++){
			d[i]=new BigInteger("0");
		}
		Scanner sc=new Scanner(System.in);
		while(sc.hasNext()){
			int n=sc.nextInt();
			System.out.println(dp(n));
		}
	}
	public BigInteger dp(int n){
		if(n==0)return g(1);
		if(d[n].signum()>0)return d[n];
		for(int i=0;i<=n-1;i++){
			d[n]=d[n].add(dp(i).multiply(dp(n-i-1)));
		}
		return d[n];
	}
	
	public BigInteger g(int x){
		return new BigInteger(new Integer(x).toString());
	}
	public BigInteger gs(String s){
		return new BigInteger(s);
	}
}

2.3.5 HDU1133 Buy The Ticket 遞推

很經典的一道題,有人說這是卡特蘭數,我也不知道是怎麼用卡特蘭數去解釋,總之我是用遞推做的

d[m][n]=m*d[m-1][n]+n*d[m][n-1] 其中M表示的是前M+N人中50元的個數,N是100元的個數,顯然M+N的狀態可以由M+N-1得來,而加的這個人可能是50元的,也可能是100元的.考慮50元,因爲不同的排列算不同的結果,所以加的這個人可以跟前面的M-1個人交換位置,序列是不變的,所以要乘上一個M(加上放在第M+N個位置上的情況)

注意邊界情況,m<n時d[m][n]=0,n=0時f[m][n]=m!

高精度,我是用Java實現的,附上主要代碼

	public BigInteger fac(int x){
		if(x==0)return BigInteger.ONE;
		return fac(x-1).multiply(g(x));
	}
	public BigInteger dp(int m,int n){
		if(n==0)return fac(m);
		if(d[m][n]!=null)return d[m][n];
		
		d[m][n]=new BigInteger("0");
		if(m<n)d[m][n]=BigInteger.ZERO;
		else{
			if(m>n)d[m][n]=dp(m-1,n).multiply(g(m));
			d[m][n]=d[m][n].add(dp(m,n-1).multiply(g(n)));
		}
		return d[m][n];
	}
	public BigInteger g(int x){
		return new BigInteger(new Integer(x).toString());
	}

2.3.6 HDU1131 Count the Trees

跟上面的1130是一樣的,只不過要乘上N!

2.3.7 HDU1134 Game of Connections

卡特蘭數 F(n)=F(0)F(n-1)+F(1)F(n-2)+..F(n-1)F(0)

2.3.8 HDU1267 下沙的沙子有幾粒

和上面的1133差不多,只不過不需要考慮排列的情況

所以d[i][j]=d[i-1][j]+d[i][j-1]; d[i][j]=0(i<j) 其中i表示H個數,j表示D個數