深入FFM原理與實踐

      FM和FFM模型是最近幾年提出的模型，憑藉其在數據量比較大並且特徵稀疏的情況下，仍然能夠得到優秀的性能和效果的特性，屢次在各大公司舉辦的CTR預估比賽中獲得不錯的戰績。美團點評技術團隊在搭建DSP的過程中，探索並使用了FM和FFM模型進行CTR和CVR預估，並且取得了不錯的效果。本文旨在把我們對FM和FFM原理的探索和應用的經驗介紹給有興趣的讀者。

前言

      在計算廣告領域，點擊率CTR（click-through rate）和轉化率CVR（conversion rate）是衡量廣告流量的兩個關鍵指標。準確的估計CTR、CVR對於提高流量的價值，增加廣告收入有重要的指導作用。預估CTR/CVR，業界常用的方法有人工特徵工程 + LR(Logistic Regression)、GBDT(Gradient Boosting Decision Tree) + LR[1][2][3]、FM（Factorization Machine）[2][7]和FFM（Field-aware Factorization Machine）[9]模型。在這些模型中，FM和FFM近年來表現突出，分別在由Criteo和Avazu舉辦的CTR預測競賽中奪得冠軍[4][5]。

      考慮到FFM模型在CTR預估比賽中的不俗戰績，美團點評技術團隊在搭建DSP（Demand Side Platform）[6]平臺時，在站內CTR/CVR的預估上使用了該模型，取得了不錯的效果。本文是基於對FFM模型的深度調研和使用經驗，從原理、實現和應用幾個方面對FFM進行探討，希望能夠從原理上解釋FFM模型在點擊率預估上取得優秀效果的原因。因爲FFM是在FM的基礎上改進得來的，所以我們首先引入FM模型，本文章節組織方式如下：

1. 首先介紹FM的原理。
2. 其次介紹FFM對FM的改進。
3. 然後介紹FFM的實現細節。
4. 最後介紹模型在DSP場景的應用。

FM原理

      FM（Factorization Machine）是由Konstanz大學Steffen Rendle（現任職於Google）於2010年最早提出的，旨在解決稀疏數據下的特徵組合問題[7]。下面以一個示例引入FM模型。假設一個廣告分類的問題，根據用戶和廣告位相關的特徵，預測用戶是否點擊了廣告。源數據如下[8]

      "Clicked?"是label，Country、Day、Ad_type是特徵。由於三種特徵都是categorical類型的，需要經過獨熱編碼（One-Hot Encoding）轉換成數值型特徵。

      由上表可以看出，經過One-Hot編碼之後，大部分樣本數據特徵是比較稀疏的。上面的樣例中，每個樣本有7維特徵，但平均僅有3維特徵具有非零值。實際上，這種情況並不是此例獨有的，在真實應用場景中這種情況普遍存在。例如，CTR/CVR預測時，用戶的性別、職業、教育水平、品類偏好，商品的品類等，經過One-Hot編碼轉換後都會導致樣本數據的稀疏性。特別是商品品類這種類型的特徵，如商品的末級品類約有550個，採用One-Hot編碼生成550個數值特徵，但每個樣本的這550個特徵，有且僅有一個是有效的（非零）。由此可見，數據稀疏性是實際問題中不可避免的挑戰。

      One-Hot編碼的另一個特點就是導致特徵空間大。例如，商品品類有550維特徵，一個categorical特徵轉換爲550維數值特徵，特徵空間劇增。

      同時通過觀察大量的樣本數據可以發現，某些特徵經過關聯之後，與label之間的相關性就會提高。例如，“USA”與“Thanksgiving”、“China”與“Chinese New Year”這樣的關聯特徵，對用戶的點擊有着正向的影響。換句話說，來自“China”的用戶很可能會在“Chinese New Year”有大量的瀏覽、購買行爲，而在“Thanksgiving”卻不會有特別的消費行爲。這種關聯特徵與label的正向相關性在實際問題中是普遍存在的，如“化妝品”類商品與“女”性，“球類運動配件”的商品與“男”性，“電影票”的商品與“電影”品類偏好等。因此，引入兩個特徵的組合是非常有意義的。

      多項式模型是包含特徵組合的最直觀的模型。在多項式模型中，特徵 xi 和 xj 的組合採用 xixj 表示，即 xi 和 xj 都非零時，組合特徵 xixj 纔有意義。從對比的角度，本文只討論二階多項式模型。模型的表達式如下

y(x)=w0+∑i=1nwixi+∑i=1n∑j=i+1nwijxixj(1)

      其中，n 代表樣本的特徵數量，xi 是第 i 個特徵的值，w0、wi、wij 是模型參數。

      從公式(1)可以看出，組合特徵的參數一共有n(n−1)2 個，任意兩個參數都是獨立的。然而，在數據稀疏性普遍存在的實際應用場景中，二次項參數的訓練是很困難的。其原因是，每個參數 wij 的訓練需要大量 xi 和 xj 都非零的樣本；由於樣本數據本來就比較稀疏，滿足“xi 和 xj 都非零”的樣本將會非常少。訓練樣本的不足，很容易導致參數 wij 不準確，最終將嚴重影響模型的性能。

      那麼，如何解決二次項參數的訓練問題呢？矩陣分解提供了一種解決思路。在model-based的協同過濾中，一個rating矩陣可以分解爲user矩陣和item矩陣，每個user和item都可以採用一個隱向量表示[8]。比如在下圖中的例子中，我們把每個user表示成一個二維向量，同時把每個item表示成一個二維向量，兩個向量的點積就是矩陣中user對item的打分。

      類似地，所有二次項參數 wij 可以組成一個對稱陣 W（爲了方便說明FM的由來，對角元素可以設置爲正實數），那麼這個矩陣就可以分解爲W=VTV，V 的第 j 列便是第 j 維特徵的隱向量。換句話說，每個參數 wij=⟨vi,vj⟩，這就是FM模型的核心思想。因此，FM的模型方程爲（本文不討論FM的高階形式）

y(x)=w0+∑i=1nwixi+∑i=1n∑j=i+1n⟨vi,vj⟩xixj(2)

      其中，vi 是第 i 維特徵的隱向量，⟨⋅,⋅⟩ 代表向量點積。隱向量的長度爲 k（k<<n），包含k 個描述特徵的因子。根據公式(2)，二次項的參數數量減少爲kn個，遠少於多項式模型的參數數量。另外，參數因子化使得xhxi 的參數和 xixj 的參數不再是相互獨立的，因此我們可以在樣本稀疏的情況下相對合理地估計FM的二次項參數。具體來說，xhxi 和 xixj 的係數分別爲 ⟨vh,vi⟩ 和 ⟨vi,vj⟩，它們之間有共同項vi。也就是說，所有包含“xi 的非零組合特徵”（存在某個 j≠i，使得xixj≠0）的樣本都可以用來學習隱向量vi，這很大程度上避免了數據稀疏性造成的影響。而在多項式模型中，whi 和 wij 是相互獨立的。

      顯而易見，公式(2)是一個通用的擬合方程，可以採用不同的損失函數用於解決迴歸、二元分類等問題，比如可以採用MSE（Mean Square Error）損失函數來求解迴歸問題，也可以採用Hinge/Cross-Entropy損失來求解分類問題。當然，在進行二元分類時，FM的輸出需要經過sigmoid變換，這與Logistic迴歸是一樣的。直觀上看，FM的複雜度是O(kn2)。但是，通過公式(3)的等式，FM的二次項可以化簡，其複雜度可以優化到O(kn)[7]。由此可見，FM可以在線性時間對新樣本作出預測。

∑i=1n∑j=i+1n⟨vi,vj⟩xixj=12∑f=1k⎛⎝(∑i=1nvi,fxi)2−∑i=1nv2i,fx2i⎞⎠(3)

      我們再來看一下FM的訓練複雜度，利用SGD（Stochastic Gradient Descent）訓練模型。模型各個參數的梯度如下

∂∂θy(x)=⎧⎩⎨⎪⎪1,xi,xi∑nj=1vj,fxj−vi,fx2i,ifθisw0ifθiswiifθisvi,f

其中，vj,f 是隱向量 vj 的第 f 個元素。由於 ∑nj=1vj,fxj 只與 f 有關，而與 i 無關，在每次迭代過程中，只需計算一次所有 f 的 ∑nj=1vj,fxj，就能夠方便地得到所有vi,f 的梯度。顯然，計算所有 f 的 ∑nj=1vj,fxj 的複雜度是 O(kn)；已知∑nj=1vj,fxj 時，計算每個參數梯度的複雜度是 O(1)；得到梯度後，更新每個參數的複雜度是O(1)；模型參數一共有nk+n+1 個。因此，FM參數訓練的複雜度也是 O(kn)。綜上可知，FM可以在線性時間訓練和預測，是一種非常高效的模型。

FM與其他模型的對比

      FM是一種比較靈活的模型，通過合適的特徵變換方式，FM可以模擬二階多項式核的SVM模型、MF模型、SVD++模型等[7]。

      相比SVM的二階多項式核而言，FM在樣本稀疏的情況下是有優勢的；而且，FM的訓練/預測複雜度是線性的，而二項多項式核SVM需要計算核矩陣，核矩陣複雜度就是N平方。

      相比MF而言，我們把MF中每一項的rating分改寫爲 rui∼βu+γi+xTuyi，從公式(2)中可以看出，這相當於只有兩類特徵u  和 i 的FM模型。對於FM而言，我們可以加任意多的特徵，比如user的歷史購買平均值，item的歷史購買平均值等，但是MF只能侷限在兩類特徵。SVD++與MF類似，在特徵的擴展性上都不如FM，在此不再贅述。

FFM原理

      FFM（Field-aware Factorization Machine）最初的概念來自Yu-Chin Juan（阮毓欽，畢業於中國臺灣大學，現在美國Criteo工作）與其比賽隊員，是他們借鑑了來自Michael Jahrer的論文[14]中的field概念提出了FM的升級版模型。通過引入field的概念，FFM把相同性質的特徵歸於同一個field。以上面的廣告分類爲例，“Day=26/11/15”、“Day=1/7/14”、“Day=19/2/15”這三個特徵都是代表日期的，可以放到同一個field中。同理，商品的末級品類編碼生成了550個特徵，這550個特徵都是說明商品所屬的品類，因此它們也可以放到同一個field中。簡單來說，同一個categorical特徵經過One-Hot編碼生成的數值特徵都可以放到同一個field，包括用戶性別、職業、品類偏好等。在FFM中，每一維特徵xi，針對其它特徵的每一種fieldfj，都會學習一個隱向量vi,fj。因此，隱向量不僅與特徵相關，也與field相關。也就是說，“Day=26/11/15”這個特徵與“Country”特徵和“Ad_type"特徵進行關聯的時候使用不同的隱向量，這與“Country”和“Ad_type”的內在差異相符，也是FFM中“field-aware”的由來。

      假設樣本的 n 個特徵屬於 f 個field，那麼FFM的二次項有 nf 個隱向量。而在FM模型中，每一維特徵的隱向量只有一個。FM可以看作FFM的特例，是把所有特徵都歸屬到一個field時的FFM模型。根據FFM的field敏感特性，可以導出其模型方程。

y(x)=w0+∑i=1nwixi+∑i=1n∑j=i+1n⟨vi,fj,vj,fi⟩xixj(4)

      其中，fj 是第 j 個特徵所屬的field。如果隱向量的長度爲 k，那麼FFM的二次參數有nfk 個，遠多於FM模型的 nk 個。此外，由於隱向量與field相關，FFM二次項並不能夠化簡，其預測複雜度是 O(kn2)。

      下面以一個例子簡單說明FFM的特徵組合方式[9]。輸入記錄如下

      這條記錄可以編碼成5個特徵，其中“Genre=Comedy”和“Genre=Drama”屬於同一個field，“Price”是數值型，不用One-Hot編碼轉換。爲了方便說明FFM的樣本格式，我們將所有的特徵和對應的field映射成整數編號。

      那麼，FFM的組合特徵有10項，如下圖所示。

      其中，紅色是field編號，藍色是特徵編號，綠色是此樣本的特徵取值。二次項的係數是通過與特徵field相關的隱向量點積得到的，二次項共有 n(n−1)2 個。

FFM實現

      Yu-Chin Juan實現了一個C++版的FFM模型，源碼可從Github下載[10]。這個版本的FFM省略了常數項和一次項，模型方程如下。

ϕ(w,x)=∑j1,j2∈C2⟨wj1,f2,wj2,f1⟩xj1xj2(5)

      其中，C2 是非零特徵的二元組合，j1 是特徵，屬於field f1，wj1,f2 是特徵 j1 對field f2 的隱向量。此FFM模型採用logistic loss作爲損失函數，和L2懲罰項，因此只能用於二元分類問題。

minw∑i=1Llog(1+exp{−yiϕ(w,xi)})+λ2∥w∥2

      其中，yi∈{−1,1} 是第 i 個樣本的label，L 是訓練樣本數量，λ 是懲罰項係數。模型採用SGD優化，優化流程如下。

      參考 Algorithm1, 下面簡單解釋一下FFM的SGD優化過程。

      算法的輸入 tr、va、pa  分別是訓練樣本集、驗證樣本集和訓練參數設置。

1. 根據樣本特徵數量（tr.n）、field的個數（tr.m）和訓練參數（pa ），生成初始化模型，即隨機生成模型的參數；
2. 如果歸一化參數 pa.norm  爲真，計算訓練和驗證樣本的歸一化係數，樣本 i 的歸一化係數爲
   
   R[i]=1∥X[i]∥
3. 對每一輪迭代，如果隨機更新參數 pa.rand 爲真，隨機打亂訓練樣本的順序；
4. 對每一個訓練樣本，執行如下操作
   • 計算每一個樣本的FFM項，即公式(5)中的輸出ϕ計算每一個樣本的訓練誤差，如算法所示，這裏採用的是交叉熵損失函數；
     
   • 計算每一個樣本的訓練誤差，如算法所示，這裏採用的是交叉熵損失函數 log(1+eϕ) ；
     
   • 利用單個樣本的損失函數計算梯度 gΦ,再根據梯度更新模型參數；，再根據梯度更新模型參數；利用單個樣本的損失函數計算梯度gΦ,再根據梯度更新模型參數；，再根據梯度更新模型參數；
5. 對每一個驗證樣本，計算樣本的FFM輸出，計算驗證誤差；
6. 重複步驟3~5，直到迭代結束或驗證誤差達到最小。
   

      在SGD尋優時，代碼採用了一些小技巧，對於提升計算效率是非常有效的。

      第一，梯度分步計算。採用SGD訓練FFM模型時，只採用單個樣本的損失函數來計算模型參數的梯度。

L=Lerr+Lreg=log(1+exp{−yiϕ(w,xi)})+λ2∥w∥2

∂L∂w=∂Lerr∂ϕ⋅∂ϕ∂w+∂Lreg∂w

      上面的公式表明，∂Lerr∂ϕ 與具體的模型參數無關。因此，每次更新模型時，只需計算一次，之後直接調用 ∂Lerr∂ϕ 的值即可。對於更新 nfk 個模型參數，這種方式能夠極大提升運算效率。

      第二，自適應學習率。此版本的FFM實現沒有采用常用的指數遞減的學習率更新策略，而是利用 nfk 個浮點數的臨時空間，自適應地更新學習率。學習率是參考AdaGrad算法計算的[11]，按如下方式更新

w′j1,f2=wj1,f2−η1+∑t(gtwj1,f2)2−−−−−−−−−−−−√⋅gwj1,f2

      其中，wj1,f2 是特徵 j1 對field f2 隱向量的一個元素，元素下標未標出；gwj1,f2 是損失函數對參數 wj1,f2 的梯度；gtwj1,f2 是第 t 次迭代的梯度；η 是初始學習率。可以看出，隨着迭代的進行，每個參數的歷史梯度會慢慢累加，導致每個參數的學習率逐漸減小。另外，每個參數的學習率更新速度是不同的，與其歷史梯度有關，根據AdaGrad的特點，對於樣本比較稀疏的特徵，學習率高於樣本比較密集的特徵，因此每個參數既可以比較快速達到最優，也不會導致驗證誤差出現很大的震盪。

      第三，OpenMP多核並行計算。OpenMP是用於共享內存並行系統的多處理器程序設計的編譯方案，便於移植和多核擴展[12]。FFM的源碼採用了OpenMP的API，對參數訓練過程SGD進行了多線程擴展，支持多線程編譯。因此，OpenMP技術極大地提高了FFM的訓練效率和多核CPU的利用率。在訓練模型時，輸入的訓練參數ns_threads指定了線程數量，一般設定爲CPU的核心數，便於完全利用CPU資源。

      第四，SSE3指令並行編程。SSE3全稱爲數據流單指令多數據擴展指令集3，是CPU對數據層並行的關鍵指令，主要用於多媒體和遊戲的應用程序中[13]。SSE3指令採用128位的寄存器，同時操作4個單精度浮點數或整數。SSE3指令的功能非常類似於向量運算。例如，a 和 b  採用SSE3指令相加（a 和 b 分別包含4個數據），其功能是 a 中的4個元素與 b  中4個元素對應相加，得到4個相加後的值。採用SSE3指令後，向量運算的速度更加快捷，這對包含大量向量運算的FFM模型是非常有利的。

      除了上面的技巧之外，FFM的實現中還有很多調優技巧需要探索。例如，代碼是按field和特徵的編號申請參數空間的，如果選取了非連續或過大的編號，就會造成大量的內存浪費；在每個樣本中加入值爲1的新特徵，相當於引入了因子化的一次項，避免了缺少一次項帶來的模型偏差等。

FFM應用

      在DSP的場景中，FFM主要用來預估站內的CTR和CVR，即一個用戶對一個商品的潛在點擊率和點擊後的轉化率。

      CTR和CVR預估模型都是在線下訓練，然後用於線上預測。兩個模型採用的特徵大同小異，主要有三類：用戶相關的特徵、商品相關的特徵、以及用戶-商品匹配特徵。用戶相關的特徵包括年齡、性別、職業、興趣、品類偏好、瀏覽/購買品類等基本信息，以及用戶近期點擊量、購買量、消費額等統計信息。商品相關的特徵包括所屬品類、銷量、價格、評分、歷史CTR/CVR等信息。用戶-商品匹配特徵主要有瀏覽/購買品類匹配、瀏覽/購買商家匹配、興趣偏好匹配等幾個維度。

      爲了使用FFM方法，所有的特徵必須轉換成“field_id:feat_id:value”格式，field_id代表特徵所屬field的編號，feat_id是特徵編號，value是特徵的值。數值型的特徵比較容易處理，只需分配單獨的field編號，如用戶評論得分、商品的歷史CTR/CVR等。categorical特徵需要經過One-Hot編碼成數值型，編碼產生的所有特徵同屬於一個field，而特徵的值只能是0或1，如用戶的性別、年齡段，商品的品類id等。除此之外，還有第三類特徵，如用戶瀏覽/購買品類，有多個品類id且用一個數值衡量用戶瀏覽或購買每個品類商品的數量。這類特徵按照categorical特徵處理，不同的只是特徵的值不是0或1，而是代表用戶瀏覽或購買數量的數值。按前述方法得到field_id之後，再對轉換後特徵順序編號，得到feat_id，特徵的值也可以按照之前的方法獲得。

      CTR、CVR預估樣本的類別是按不同方式獲取的。CTR預估的正樣本是站內點擊的用戶-商品記錄，負樣本是展現但未點擊的記錄；CVR預估的正樣本是站內支付（發生轉化）的用戶-商品記錄，負樣本是點擊但未支付的記錄。構建出樣本數據後，採用FFM訓練預估模型，並測試模型的性能。

      由於模型是按天訓練的，每天的性能指標可能會有些波動，但變化幅度不是很大。這個表的結果說明，站內CTR/CVR預估模型是非常有效的。

      在訓練FFM的過程中，有許多小細節值得特別關注。

      第一，樣本歸一化。FFM默認是進行樣本數據的歸一化，即 pa.norm 爲真；若此參數設置爲假，很容易造成數據inf溢出，進而引起梯度計算的nan錯誤。因此，樣本層面的數據是推薦進行歸一化的。

      第二，特徵歸一化。CTR/CVR模型採用了多種類型的源特徵，包括數值型和categorical類型等。但是，categorical類編碼後的特徵取值只有0或1，較大的數值型特徵會造成樣本歸一化後categorical類生成特徵的值非常小，沒有區分性。例如，一條用戶-商品記錄，用戶爲“男”性，商品的銷量是5000個（假設其它特徵的值爲零），那麼歸一化後特徵“sex=male”（性別爲男）的值略小於0.0002，而“volume”（銷量）的值近似爲1。特徵“sex=male”在這個樣本中的作用幾乎可以忽略不計，這是相當不合理的。因此，將源數值型特徵的值歸一化到[0,1] 是非常必要的。

      第三，省略零值特徵。從FFM模型的表達式(4)可以看出，零值特徵對模型完全沒有貢獻。包含零值特徵的一次項和組合項均爲零，對於訓練模型參數或者目標值預估是沒有作用的。因此，可以省去零值特徵，提高FFM模型訓練和預測的速度，這也是稀疏樣本採用FFM的顯著優勢。

後記

      本文主要介紹了FFM的思路來源和理論原理，並結合源碼說明FFM的實際應用和一些小細節。從理論上分析，FFM的參數因子化方式具有一些顯著的優勢，特別適合處理樣本稀疏性問題，且確保了較好的性能；從應用結果來看，站內CTR/CVR預估採用FFM是非常合理的，各項指標都說明了FFM在點擊率預估方面的卓越表現。當然，FFM不一定適用於所有場景且具有超越其他模型的性能，合適的應用場景才能成就FFM的“威名”。

參考文獻

1. http://blog.csdn.net/lilyth_lilyth/article/details/48032119
2. http://www.cnblogs.com/Matrix_Yao/p/4773221.html
3. http://www.herbrich.me/papers/adclicksfacebook.pdf
4. https://www.kaggle.com/c/criteo-display-ad-challenge
5. https://www.kaggle.com/c/avazu-ctr-prediction
6. https://en.wikipedia.org/wiki/Demand-side_platform
7. http://www.algo.uni-konstanz.de/members/rendle/pdf/Rendle2010FM.pdf
8. http://www.cs.cmu.edu/~wcohen/10-605/2015-guest-lecture/FM.pdf
9. http://www.csie.ntu.edu.tw/~r01922136/slides/ffm.pdf
10. https://github.com/guestwalk/libffm
11. https://en.wikipedia.org/wiki/Stochastic_gradient_descent#AdaGrad
12. http://openmp.org/wp/openmp-specifications/
13. http://blog.csdn.net/gengshenghong/article/details/7008704
14. https://kaggle2.blob.core.windows.net/competitions/kddcup2012/2748/media/Opera.pdf

原文鏈接：http://tech.meituan.com/deep-understanding-of-ffm-principles-and-practices.html