神奇的多項式求導矩陣與積分矩陣

線性代數是一門有趣又有用的學科。基於機器學習、深度學習等技術的人工智能的核心數學知識就包含數理統計、微積分與線性代數。

通過 求導矩陣 對多項式求導：

例：

$f(x) = 4 x^2 + 3 x + 2$

則聲明其係數向量與次數矩陣。

$y = \left[\begin{aligned} 4\\ 3\\ 2\\ \end{aligned}\right]$

$D = \left[\begin{aligned} 0 & \quad 0 & \quad 0\\ 2 & \quad 0 & \quad 0\\ 0 & \quad 1 & \quad 0\\ \end{aligned}\right]$

將 D 與 y 做乘，則得到求導後的係數：

$\frac{dy}{dx} = \left[\begin{aligned} 0\\ 8\\ 3\\ \end{aligned}\right]$

對應數學表達式：

$f'(x) = 0 x^2 + 8 x + 3$

同理，可推導 積分矩陣 ：

$Dy = dydx$
$DD^{-1}y = D^{-1}dydx$
$D^{-1}y = dydx$

因此，對於式 $g(x) = 8 x + 3$ ，其積分矩陣爲：

• 原式線性多項式最高次冪爲1，則積分後最高次冪爲2，則積分矩陣要表達 2 次的係數，因此 $n=3$；
• 即先寫出正常的 $D$ ，再取 $D$ 的（僞）逆。

則對於 $g(x)$ ，積分矩陣爲：

$D^{-1} = \left[\begin{aligned} 0 & \quad 0 & \quad 0\\ 2 & \quad 0 & \quad 0\\ 0 & \quad 1 & \quad 0\\ \end{aligned}\right]^{-1}$

$D^{-1} = \left[\begin{aligned} 0 & \quad 0.5 & \quad 0\\ 0 & \quad 0 & \quad 1\\ 0 & \quad 0 & \quad 0\\ \end{aligned}\right]$

將 $D^{-1}$ 與 係數向量 做乘，則得到積分後的係數：

$\int g(x) dx = \left[\begin{aligned} 4\\ 3\\ 0\\ \end{aligned}\right]$

對應數學表達式：

$\int g(x) = 4 x^2 + 3 x$

注意該不定積分沒有常數項。

啓發：該方法很好理解，利用了矩陣的性質，實現了係數的自動變換與落位，在計算實現時可以考慮該方法減少迭代次數，提高運算效率。但是可能只適合線性多項式。

下面是一個 matlab 的例題，我先通過求導矩陣求其求導後，在通過積分矩陣求其原式，但是不帶常數項。

4th order polynomial

》D

D =

     0     0     0     0     0
     4     0     0     0     0
     0     3     0     0     0
     0     0     2     0     0
     0     0     0     1     0

》Y

Y =

     2
     4
     6
     8
     3

》dy = D * Y

dy =

     0
     8
    12
    12
     8

》% 如何通過dy求Y？ 先對D求逆，即積分矩陣
》D_1 = pinv(D)

D_1 =

         0    0.2500         0         0         0
         0         0    0.3333         0         0
         0         0         0    0.5000         0
         0         0         0         0    1.0000
         0         0         0         0         0

》Y = D_1 * dy

Y =

     2
     4
     6
     8
     0