《編程之美》買書問題及c語言代碼實現

廢話：

最近剛買了本書《編程之美》，首先看了下時間：2008.3。剛好是大二的時候，真希望回到那時，買一本《編程之美》，坐在宿舍，吃着熱乾麪，編着代碼。剎那間，有種相見恨晚的感覺，前一陣，也感覺自己浮誇的很，什麼流行就看什麼。是時候按下心來，好好享受下beauty of programming

 本文來自：http://blog.csdn.net/lengzijian/article/details/7789222

問題：

某書店對《哈利波特》做促銷活動，一共有5卷。假設每一卷的單獨銷售價格爲8元，如果讀者一次購買不同的兩卷，就可以扣除5%的費用，三卷則更多，優惠如下：

本數	折扣
2	5%
3	10%
4	20%
5	25%

求出購買一批書的最低價格？

 

剛拿過題目第一感覺就是用貪心方法，不出所料書中最開始提到的就是貪心規則。首先看下10本數以內的折扣表：

 

本數	所有組合	折扣	節省的錢
2-5	2 3 4 5	0.1 0.3 0.8 1.25	0.8 2.4 6.4 10
6	5+1 4+2 3+3 2+2+2	1.25 0.9 0.6 0.3	10 7.2 4.8 2.4
7	5+2 4+3 3+2+2	1.35 1.1 0.5	10.8 8.8 4
8	5+3 4+4 3+3+2 2+2+2+2	1.55 1.6 0.7 0.4	12.4 12.8 5.6 3.2
9	5+4 5+2+2 4+3+2 3+3+3	2.05 1.45 1.2 0.9	16.4 11.6 9.6 7.2
10	5+5 4+4+2 4+3+3 2+2+2+2+2	2.5 1.7 1.4 0.5	20 13.5 11.2 4

這裏不再講解貪心算法，我想記錄下動態規劃法幾個比較難理解的地方。

注：書中用的是最少花費，而我用的是最多節省錢數。之後可以通過表達式看出區別。

1.    在書中，假設用Xn表示購買第n卷數的數量，那麼購買所有書數量可以用(X1,X2,X3,X4,X5)表示，而F(X1,X2,X3,X4,X5)表示最多節省錢數。爲了使書籍沒有編號順序，即(X1,X2,X3,X4,X5)和(X3,X2,X1,X4,X5)爲一樣的變量，書中使用的“最小表示”。Y1,Y2,Y3,Y4,Y5是X1,X2,X3,X4,X5的重新排列，滿足Y1>=Y2>=Y3>=Y4>=Y5。在之後的所有闡述中，購買數的數量均以“最大滿足”方法，放入變量。例如:

我要買8本書，那麼變量的存儲值爲(2,2,2,1,1);

如果我要買10本書，那麼變量存儲值爲(2,2,2,2,2)，爲何不是(5,5,0,0,0)

以一種循環+1，最大滿足所有變量的方式賦值，爲什麼如此？

 

個人拙見：

以10本書爲例，當用(5,5,0,0,0)爲變量時，會有5種(1+2)的方法(1+2：表示第一卷加上第二卷的組合方式)，而同樣，當用(2,2,2,2,2)爲變量時，可以有([1+2] ,[2+3] ,[3+4] ,[4+5] ,[5+1])共5種兩兩組合，即所有的組合方式都是“做大滿足”方法的子集，都可以用“做大滿足”方法模擬其他變量存儲方式。

 

2.    假定要買的書爲(Y1,Y2,Y3,Y4,Y5),如果第一次考慮爲5本不同卷付錢(Y5>=1)，那麼剩下數的集合爲(Y1-1,Y2-1,Y3-1,Y4-1,Y5-1);但是如果要爲4本不同卷付錢，剩下幾何應該有如下種：

(Y1-1,Y2-1,Y3-1,Y4-1,Y5);

(Y1-1,Y2-1,Y3-1,Y4,Y5-1);

(Y1-1,Y2-1,Y3,Y4-1,Y5-1);

(Y1-1,Y2,Y3-1,Y4-1,Y5-1);

(Y1,Y2-1,Y3-1,Y4-1,Y5-1);

我們該如何選擇然後繼續分析下去呢？

 

舉例說明：

假設Y1=Y2=Y3=Y4=Y5=2.

選擇(1,1,1,1,0),剩下(Y1-1,Y2-1,Y3-1,Y4-1,Y5)的組合爲(1,1,1,1,2)，剩下的書爲{1,2,3,4,5,5};

選擇(1,1,1,0,1),剩下(Y1-1,Y2-1,Y3-1,Y4,Y5-1)的組合爲(1,1,1,2,1)，剩下的書爲{1,2,3,4,4,5};

由於Y4>=Y5>Y5-1，後者方案中，總會有一種方案裏只有4卷而沒有5卷，完全可以把只有4沒有5的組合，換成5卷。例如：

{1,2,3,4}{4,5}->{1,2,3,5}{4,5}

對於任何(Y1-1,Y2-1,Y3-1,Y4,Y5-1)的最優解，都能轉化爲(Y1-1,Y2-1,Y3-1,Y4-1,Y5)的解。

 

有了上面兩個依據，就可以寫出推導公式：

因爲我求的是最大節約錢數，所以跟書上有一點不同

F(Y1,Y2,Y3,Y4,Y5)

if(Y1=Y2=Y3=Y4=Y5=0)

       return 0;

return max(

5*8*25% + F(Y1-1,Y2-1,Y3-1,Y4-1,Y5-1)          (Y5 >=1),

4*8*20% + F(Y1-1,Y2-1,Y3-1,Y4-1,Y5)          (Y4>=1),

3*8*10% + F(Y1-1,Y2-1,Y3-1,Y4,Y5)          (Y3 >=1),

2*8*5% + F(Y1-1,Y2-1,Y3,Y4,Y5)           (Y2 >=1),

1*8*0% + F(Y1-1,Y2,Y3,Y4,Y5)           (Y1 >=1)

)

記得要轉化成對應的最小表示(書上很清楚，這裏就不贅述了)：

F(1,2,2,2,2)----------轉化-----------> F(2,2,2,2,1)

下面是我實現的c語言版本：

#include<stdio.h>
//折扣信息(逆序)
//個人不喜歡float，所以在結果後除以100就可以了                                                                                               
int change[5] = {25,20,10,5,0};
 
//求數組中最大的值
//用於取出做大節約錢數
int max_index(int a[5]){
    int max=0;
    int i;
    for(i=0;i<5;i++){
        if(max < a[i])
            max = a[i];
    }
    return max;
}
//冒泡排序
//用於轉化最小表示(1,2,2,2,2)->(2,2,2,2,1)
void bubble(int *a,int n)
{
    int i,j,temp;
    for(i=0;i<n-1;i++)
        for(j=i+1;j<n;j++)
            if(a[i]<a[j]) {
                temp=a[i];
                a[i]=a[j];
                a[j]=temp;
            }
}
 
//遞歸函數
int func(int a[5]){
    int i,j,k;
    int buf[5];
    int cash[5];
    for(i=0;i<5;i++){
        cash[i] = 0;
        //buf[i] = a[i];
    }
    //退出條件
    if(a[0]==a[1]&&a[1]==a[2]&&a[2]==a[3]&&a[3]==a[4]&&a[4] == 0){
        return 0;
    }
    //排序 轉化最小表示
    bubble(a,5);
    //5次循環
    for(i=1;i<=5;i++){
        if(a[5-i] >= 1){
            for(k=0;k<5;k++){
                buf[k] = a[k];
            }
            //減一
            for(j=0;j<=5-i;j++)
                buf[j] = buf[j]-1;
            //繼續遞歸
            cash[i-1] = (5-i+1)*8*change[i-1]+func(buf);
        }
    }
    //返回最大值
    return max_index(cash);
}
 
int main(){
    //a數組用於表示所選的方案2,2,2,2,2表示選10本書
    //這裏之前講過，爲什麼要這麼做了。。
    //讀者也可以自己寫“最大滿足”的函數
    int a[5] = {2,2,2,2,2};
    float result =0;
    result = func(a);
    printf("result %2.2f\n",result/100);
}

查看運行結果：

當爲10本書時：int a[5] = {2,2,2,2,2};

result 20.00

當爲8本書時：int a[5] = {2,2,2,1,1};

result 12.80

與之前表裏裏面的數據一模一樣，安心了(話說，調試遞歸什麼的最討厭了)。