寫在前面：
這篇文章是在公衆號： 程序員小灰 中發佈的。是我到目前爲止所看到的關於時間複雜度介紹的最好的文章，簡介 清晰 明瞭。
所以拿來po出來 僅供學習交流，如侵則刪。
現已將此文收錄至： 《數據結構》C語言版 (清華嚴蔚敏考研版） 全書知識梳理
正文：
時間複雜度的意義
究竟什麼是時間複雜度呢？讓我們來想象一個場景：某一天，小灰和大黃同時加入了一個公司......
一天過後，小灰和大黃各自交付了代碼，兩端代碼實現的功能都差不多。大黃的代碼運行一次要花100毫秒，內存佔用5MB。小灰的代碼運行一次要花100秒，內存佔用500MB。於是......
由此可見，衡量代碼的好壞，包括兩個非常重要的指標：
1.運行時間；
2.佔用空間。
基本操作執行次數
關於代碼的基本操作執行次數，我們用四個生活中的場景，來做一下比喻：
場景1：給小灰一條長10寸的麪包，小灰每3天吃掉1寸，那麼吃掉整個麪包需要幾天？
答案自然是 3 X 10 = 30天。
如果麪包的長度是 N 寸呢？
此時吃掉整個麪包，需要 3 X n = 3n 天。
如果用一個函數來表達這個相對時間，可以記作 T（n） = 3n。
場景2：給小灰一條長16寸的麪包，小灰每5天吃掉麪包剩餘長度的一半，第一次吃掉8寸，第二次吃掉4寸，第三次吃掉2寸......那麼小灰把麪包吃得只剩下1寸，需要多少天呢？
這個問題翻譯一下，就是數字16不斷地除以2，除幾次以後的結果等於1？這裏要涉及到數學當中的對數，以2位底，16的對數，可以簡寫爲log16。
因此，把麪包吃得只剩下1寸，需要 5 X log16 = 5 X 4 = 20 天。
如果麪包的長度是 N 寸呢？
需要 5 X logn = 5logn天，記作 T（n） = 5logn。
場景3：給小灰一條長10寸的麪包和一個雞腿，小灰每2天吃掉一個雞腿。那麼小灰吃掉整個雞腿需要多少天呢？
答案自然是2天。因爲只說是吃掉雞腿，和10寸的麪包沒有關係 。
如果麪包的長度是 N 寸呢？
無論麪包有多長，吃掉雞腿的時間仍然是2天，記作 T（n） = 2。
場景4：給小灰一條長10寸的麪包，小灰吃掉第一個一寸需要1天時間，吃掉第二個一寸需要2天時間，吃掉第三個一寸需要3天時間.....每多吃一寸，所花的時間也多一天。那麼小灰吃掉整個麪包需要多少天呢？
答案是從1累加到10的總和，也就是55天。
如果麪包的長度是 N 寸呢？
此時吃掉整個麪包，需要 1+2+3+......+ n-1 + n = (1+n)*n/2 = 0.5n^2 + 0.5n。
記作 T（n） = 0.5n^2 + 0.5n。
上面所講的是吃東西所花費的相對時間，這一思想同樣適用於對程序基本操作執行次數的統計。剛纔的四個場景，分別對應了程序中最常見的四種執行方式：
場景1：T（n） = 3n，執行次數是線性的。
-
void eat1(int n){ -
for(int i=0; i<n; i++){; -
System.out.println("等待一天"); -
System.out.println("等待一天"); -
System.out.println("吃一寸麪包"); -
} -
} -
vo
場景2：T（n） = 5logn，執行次數是對數的。
-
void eat2(int n){ -
for(int i=1; i<n; i*=2){ -
System.out.println("等待一天"); -
System.out.println("等待一天"); -
System.out.println("等待一天"); -
System.out.println("等待一天"); -
System.out.println("吃一半面包"); -
} -
}
場景3：T（n） = 2，執行次數是常量的。
-
void eat3(int n){ -
System.out.println("等待一天"); -
System.out.println("吃一個雞腿"); -
}
場景4：T（n） = 0.5n^2 + 0.5n，執行次數是一個多項式。
-
void eat4(int n){ -
for(int i=0; i<n; i++){ -
for(int j=0; j<i; j++){ -
System.out.println("等待一天"); -
} -
System.out.println("吃一寸麪包"); -
} -
}
漸進時間複雜度
有了基本操作執行次數的函數 T（n），是否就可以分析和比較一段代碼的運行時間了呢？還是有一定的困難。
比如算法A的相對時間是T（n）= 100n，算法B的相對時間是T（n）= 5n^2，這兩個到底誰的運行時間更長一些？這就要看n的取值了。
所以，這時候有了漸進時間複雜度（asymptotic time complexity）的概念，官方的定義如下：
若存在函數 f（n），使得當n趨近於無窮大時，T（n）/ f（n）的極限值爲不等於零的常數，則稱 f（n）是T（n）的同數量級函數。
記作 T（n）= O（f（n）），稱O（f（n）） 爲算法的漸進時間複雜度，簡稱時間複雜度。
漸進時間複雜度用大寫O來表示，所以也被稱爲大O表示法。
如何推導出時間複雜度呢？有如下幾個原則：
-
如果運行時間是常數量級，用常數1表示；
-
只保留時間函數中的最高階項；
-
如果最高階項存在，則省去最高階項前面的係數。
讓我們回頭看看剛纔的四個場景。
場景1：
T（n） = 3n
最高階項爲3n，省去係數3，轉化的時間複雜度爲：
T（n） = O（n）
場景2：
T（n） = 5logn
最高階項爲5logn，省去係數5，轉化的時間複雜度爲：
T（n） = O（logn）
場景3：
T（n） = 2
只有常數量級，轉化的時間複雜度爲：
T（n） = O（1）
場景4：
T（n） = 0.5n^2 + 0.5n
最高階項爲0.5n^2，省去係數0.5，轉化的時間複雜度爲：
T（n） = O（n^2）
這四種時間複雜度究竟誰用時更長，誰節省時間呢？稍微思考一下就可以得出結論：
O（1）< O（logn）< O（n）< O（n^2）
在編程的世界中有着各種各樣的算法，除了上述的四個場景，還有許多不同形式的時間複雜度，比如：
O（nlogn）, O（n^3）, O（m*n），O（2^n），O（n！）
今後遨遊在代碼的海洋裏，我們會陸續遇到上述時間複雜度的算法。
時間複雜度的巨大差異
我們來舉過一個栗子：
算法A的相對時間規模是T（n）= 100n，時間複雜度是O(n)
算法B的相對時間規模是T（n）= 5n^2，時間複雜度是O(n^2)
算法A運行在小灰家裏的老舊電腦上，算法B運行在某臺超級計算機上，運行速度是老舊電腦的100倍。
那麼，隨着輸入規模 n 的增長，兩種算法誰運行更快呢？
從表格中可以看出，當n的值很小的時候，算法A的運行用時要遠大於算法B；當n的值達到1000左右，算法A和算法B的運行時間已經接近；當n的值越來越大，達到十萬、百萬時，算法A的優勢開始顯現，算法B則越來越慢，差距越來越明顯。
這就是不同時間複雜度帶來的差距。
