二叉堆的定義
二叉堆是完全二叉樹或者是近似完全二叉樹。
二叉堆滿足二個特性：
1．父結點的鍵值總是大於或等於（小於或等於）任何一個子節點的鍵值。
2．每個結點的左子樹和右子樹都是一個二叉堆（都是最大堆或最小堆）。
當父結點的鍵值總是大於或等於任何一個子節點的鍵值時爲最大堆。當父結點的鍵值總是小於或等於任何一個子節點的鍵值時爲最小堆。下圖展示一個最小堆：
由於其它幾種堆（二項式堆，斐波納契堆等）用的較少，一般將二叉堆就簡稱爲堆。
堆的存儲
一般都用數組來表示堆，i結點的父結點下標就爲(i – 1) / 2。它的左右子結點下標分別爲2 * i + 1和2 * i + 2。如第0個結點左右子結點下標分別爲1和2。
堆的操作——插入刪除
下面先給出《數據結構C++語言描述》中最小堆的建立插入刪除的圖解，再給出本人的實現代碼，最好是先看明白圖後再去看代碼。
堆的插入
每次插入都是將新數據放在數組最後。可以發現從這個新數據的父結點到根結點必然爲一個有序的數列，現在的任務是將這個新數據插入到這個有序數據中——這就類似於直接插入排序中將一個數據併入到有序區間中，對照《白話經典算法系列之二 直接插入排序的三種實現》不難寫出插入一個新數據時堆的調整代碼：
- // 新加入i結點 其父結點爲(i - 1) / 2
- void MinHeapFixup(int a[], int i)
- {
- int j, temp;
- temp = a[i];
- j = (i - 1) / 2; //父結點
- while (j >= 0 && i != 0)
- {
- if (a[j] <= temp)
- break;
- a[i] = a[j]; //把較大的子結點往下移動,替換它的子結點
- i = j;
- j = (i - 1) / 2;
- }
- a[i] = temp;
- }
更簡短的表達爲：
- void MinHeapFixup(int a[], int i)
- {
- for (int j = (i - 1) / 2; (j >= 0 && i != 0)&& a[i] <a[j]; i = j, j = (i - 1) / 2)
- Swap(a[i], a[j]);
- }
插入時：
- //在最小堆中加入新的數據nNum
- void MinHeapAddNumber(int a[], int n, int nNum)
- {
- a[n] = nNum;
- MinHeapFixup(a, n);
- }
堆的刪除
按定義，堆中每次都只能刪除第0個數據。爲了便於重建堆，實際的操作是將最後一個數據的值賦給根結點，然後再從根結點開始進行一次從上向下的調整。調整時先在左右兒子結點中找最小的，如果父結點比這個最小的子結點還小說明不需要調整了，反之將父結點和它交換後再考慮後面的結點。相當於從根結點將一個數據的“下沉”過程。下面給出代碼：
- // 從i節點開始調整,n爲節點總數 從0開始計算 i節點的子節點爲 2*i+1, 2*i+2
- void MinHeapFixdown(int a[], int i, int n)
- {
- int j, temp;
- temp = a[i];
- j = 2 * i + 1;
- while (j < n)
- {
- if (j + 1 < n && a[j + 1] < a[j]) //在左右孩子中找最小的
- j++;
- if (a[j] >= temp)
- break;
- a[i] = a[j]; //把較小的子結點往上移動,替換它的父結點
- i = j;
- j = 2 * i + 1;
- }
- a[i] = temp;
- }
- //在最小堆中刪除數
- void MinHeapDeleteNumber(int a[], int n)
- {
- Swap(a[0], a[n - 1]);
- MinHeapFixdown(a, 0, n - 1);
- }
堆化數組
有了堆的插入和刪除後，再考慮下如何對一個數據進行堆化操作。要一個一個的從數組中取出數據來建立堆吧，不用！先看一個數組，如下圖：
很明顯，對葉子結點來說，可以認爲它已經是一個合法的堆了即20，60， 65， 4， 49都分別是一個合法的堆。只要從A[4]=50開始向下調整就可以了。然後再取A[3]=30，A[2] = 17，A[1] = 12，A[0] = 9分別作一次向下調整操作就可以了。下圖展示了這些步驟：
寫出堆化數組的代碼：
- //建立最小堆
- void MakeMinHeap(int a[], int n)
- {
- for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)
- MinHeapFixdown(a, i, n);
- }
至此，堆的操作就全部完成了(注1)，再來看下如何用堆這種數據結構來進行排序。
堆排序
首先可以看到堆建好之後堆中第0個數據是堆中最小的數據。取出這個數據再執行下堆的刪除操作。這樣堆中第0個數據又是堆中最小的數據，重複上述步驟直至堆中只有一個數據時就直接取出這個數據。
由於堆也是用數組模擬的，故堆化數組後，第一次將A[0]與A[n - 1]交換，再對A[0…n-2]重新恢復堆。第二次將A[0]與A[n – 2]交換，再對A[0…n - 3]重新恢復堆，重複這樣的操作直到A[0]與A[1]交換。由於每次都是將最小的數據併入到後面的有序區間，故操作完成後整個數組就有序了。有點類似於直接選擇排序。
- void MinheapsortTodescendarray(int a[], int n)
- {
- for (int i = n - 1; i >= 1; i--)
- {
- Swap(a[i], a[0]);
- MinHeapFixdown(a, 0, i);
- }
- }
注意使用最小堆排序後是遞減數組，要得到遞增數組，可以使用最大堆。
由於每次重新恢復堆的時間複雜度爲O(logN)，共N - 1次重新恢復堆操作，再加上前面建立堆時N / 2次向下調整，每次調整時間複雜度也爲O(logN)。二次操作時間相加還是O(N * logN)。故堆排序的時間複雜度爲O(N * logN)。STL也實現了堆的相關函數，可以參閱《STL系列之四 heap 堆》。
注1 作爲一個數據結構，最好用類將其數據和方法封裝起來，這樣即便於操作，也便於理解。此外，除了堆排序要使用堆，另外還有很多場合可以使用堆來方便和高效的處理數據，以後會一一介紹。
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