一、相關面試題：
1.跳躍表有沒有聽說過？
2.如何讓鏈表的元素查詢接近線性時間？
二、跳躍表的引入
我們知道，普通單鏈表查詢一個元素的時間複雜度爲O(n)，即使該單鏈表是有序的，我們也不能通過二分的方式縮減時間複雜度。
如上圖，我們要查詢元素爲55的結點，必須從頭結點，循環遍歷到最後一個節點，不算-INF(負無窮)一共查詢8次。那麼用什麼辦法能夠用更少的次數訪問55呢？最直觀的，當然是新開闢一條捷徑去訪問55。
如上圖，我們要查詢元素爲55的結點，只需要在L2層查找4次即可。在這個結構中，查詢結點爲46的元素將耗費最多的查詢次數5次。即先在L2查詢46，查詢4次後找到元素55，因爲鏈表是有序的，46一定在55的左邊，所以L2層沒有元素46。然後我們退回到元素37，到它的下一層即L1層繼續搜索46。非常幸運，我們只需要再查詢1次就能找到46。這樣一共耗費5次查詢。
那麼，如何才能更快的搜尋55呢？有了上面的經驗，我們就很容易想到，再開闢一條捷徑。
如上圖，我們搜索55只需要2次查找即可。這個結構中，查詢元素46仍然是最耗時的，需要查詢5次。即首先在L3層查找2次，然後在L2層查找2次，最後在L1層查找1次，共5次。很顯然，這種思想和2分非常相似，那麼我們最後的結構圖就應該如下圖。
我們可以看到，最耗時的訪問46需要6次查詢。即L4訪問55，L3訪問21、55，L2訪問37、55，L1訪問46。我們直覺上認爲，這樣的結構會讓查詢有序鏈表的某個元素更快。那麼究竟算法複雜度是多少呢？
如上圖，我們要查詢元素爲55的結點，只需要在L2層查找4次即可。在這個結構中，查詢結點爲46的元素將耗費最多的查詢次數5次。即先在L2查詢46，查詢4次後找到元素55，因爲鏈表是有序的，46一定在55的左邊，所以L2層沒有元素46。然後我們退回到元素37，到它的下一層即L1層繼續搜索46。非常幸運，我們只需要再查詢1次就能找到46。這樣一共耗費5次查詢。
那麼，如何才能更快的搜尋55呢？有了上面的經驗，我們就很容易想到，再開闢一條捷徑。
如上圖，我們搜索55只需要2次查找即可。這個結構中，查詢元素46仍然是最耗時的，需要查詢5次。即首先在L3層查找2次，然後在L2層查找2次，最後在L1層查找1次，共5次。很顯然，這種思想和2分非常相似，那麼我們最後的結構圖就應該如下圖。
我們可以看到，最耗時的訪問46需要6次查詢。即L4訪問55，L3訪問21、55，L2訪問37、55，L1訪問46。我們直覺上認爲，這樣的結構會讓查詢有序鏈表的某個元素更快。那麼究竟算法複雜度是多少呢？
如果有n個元素，因爲是2分，所以層數就應該是log n層 (本文所有log都是以2爲底)，再加上自身的1層。以上圖爲例，如果是4個元素，那麼分層爲L3和L4，再加上本身的L2，一共3層；如果是8個元素，那麼就是3+1層。最耗時間的查詢自然是訪問所有層數，耗時logn+logn，即2logn。爲什麼是2倍的logn呢？我們以上圖中的46爲例，查詢到46要訪問所有的分層，每個分層都要訪問2個元素，中間元素和最後一個元素。所以時間複雜度爲O(logn)。
至此爲止，我們引入了最理想的跳躍表，但是如果想要在上圖中插入或者刪除一個元素呢？比如我們要插入一個元素22、23、24……，自然在L1層，我們將這些元素插入在元素21後，那麼L2層，L3層呢？我們是不是要考慮插入後怎樣調整連接，才能維持這個理想的跳躍表結構。我們知道，平衡二叉樹的調整是一件令人頭痛的事情，左旋右旋左右旋……一般人還真記不住，而調整一個理想的跳躍表將是一個比調整平衡二叉樹還複雜的操作。幸運的是，我們並不需要通過複雜的操作調整連接來維護這樣完美的跳躍表。有一種基於概率統計的插入算法，也能得到時間複雜度爲O(logn)的查詢效率，這種跳躍表纔是我們真正要實現的。
三、跳躍表的實現
容易實現的跳躍表，它允許簡單的插入和刪除元素，並提供O(logn)的查詢時間複雜度，以下我們簡稱爲跳躍表。
先討論插入，我們先看理想的跳躍表結構，L2層的元素個數是L1層元素個數的1/2，L3層的元素個數是L2層的元素個數的1/2，以此類推。從這裏，我們可以想到，只要在插入時儘量保證上一層的元素個數是下一層元素的1/2，我們的跳躍表就能成爲理想的跳躍表。那麼怎麼樣才能在插入時保證上一層元素個數是下一層元素個數的1/2呢？很簡單，拋硬幣就能解決了！假設元素X要插入跳躍表，很顯然，L1層肯定要插入X。那麼L2層要不要插入X呢？我們希望上層元素個數是下層元素個數的1/2，所以我們有1/2的概率希望X插入L2層，那麼拋一下硬幣吧，正面就插入，反面就不插入。那麼L3到底要不要插入X呢？相對於L2層，我們還是希望1/2的概率插入，那麼繼續拋硬幣吧！以此類推，元素X插入第n層的概率是(1/2)的n次。這樣，我們能在跳躍表中插入一個元素了。
在此還是以上圖爲例：跳躍表的初試狀態如下圖，表中沒有一個元素：
如果我們要插入元素2，首先是在底部插入元素2，如下圖：
然後我們拋硬幣，結果是正面，那麼我們要將2插入到L2層，如下圖
繼續拋硬幣，結果是反面，那麼元素2的插入操作就停止了，插入後的表結構就是上圖所示。接下來，我們插入元素33，跟元素2的插入一樣，現在L1層插入33，如下圖：
然後拋硬幣，結果是反面，那麼元素33的插入操作就結束了，插入後的表結構就是上圖所示。接下來，我們插入元素55，首先在L1插入55，插入後如下圖：
然後拋硬幣，結果是正面，那麼L2層需要插入55，如下圖：
繼續拋硬幣，結果又是正面，那麼L3層需要插入55，如下圖：
繼續拋硬幣，結果又是正面，那麼要在L4插入55，結果如下圖：
繼續拋硬幣，結果是反面，那麼55的插入結束，表結構就如上圖所示。
以此類推，我們插入剩餘的元素。當然因爲規模小，結果很可能不是一個理想的跳躍表。但是如果元素個數n的規模很大，學過概率論的同學都知道，最終的表結構肯定非常接近於理想跳躍表。
當然，這樣的分析在感性上是很直接的，但是時間複雜度的證明實在複雜，在此我就不深究了，感興趣的可以去看關於跳躍表的paper。
再討論刪除，刪除操作沒什麼講的，直接刪除元素，然後調整一下刪除元素後的指針即可。跟普通的鏈表刪除操作完全一樣。
再來討論一下時間複雜度，插入和刪除的時間複雜度就是查詢元素插入位置的時間複雜度，這不難理解，所以是O(logn)。
