必須知識:最短路徑問題
1.Dijkstra
適用於滿足所有權係數大於等於0(lij≥0)的網絡最短路問題,能求出起點v1到所有其他點vj的最短距離;
樸素的Dijkstra算法複雜度爲O(N^2),堆實現的Dijkstra複雜度爲O(NlogN).
2.bellman-ford
適用於有負權係數,但無負迴路的有向或無向網絡的最短路問題,能求出起點v1到所有其它點 vj的最短距離。bellman-ford算法複雜度爲O(V*E)。
3.Floyed
適用於有負權係數,可以求出圖上任意兩點之間的最短路徑。DP思想的算法,時間複雜度爲O(N^3);
for ( k= 1; k<= n; k++)
for ( i= 1; i<= n; i++)
if (graph[i][k]!=INF)
for ( j= 1; j<= n; j++)
if (graph[k][j]!=INF && graph[i][k]+graph[k][j]< graph[i][j])
graph[i][j]= graph[i][k]+ graph[k][j];
NO.1 s-t最大流
兩大類算法
1.增廣路算法
Ford-Fulkerson算法: 殘留網絡中尋找增加路徑
STEP0:置初始可行流。
STEP1:構造原網絡的殘量網絡,在殘量網絡中找s-t有向路。如果沒有,算法得到最大流結束。否則繼續下一步。
STEP2:依據殘量網絡中的s-t有向路寫出對應到原網絡中的s-t增廣路。對於增廣路中的前向弧,置s(e)=u(e)- f(e)。對於反向弧,置s(e)=f(e) STEP3:計算crement=min{s(e1),s(e2),…,s(ek)}
STEP4:對於增廣路中的前向弧,令f(e)=f(e)+crement;對於其中的反向弧,令f(e)=f(e)-crement,轉STEP1。
關鍵點:尋找可增廣路。決定了算法複雜度。
實現:Edmonds-Karp 通過採用了廣度優先的搜索策略得以使其複雜度達到O(V*E^2)。
優化—> Dinic算法(*)
Dinic算法的思想是爲了減少增廣次數,建立一個輔助網絡L,L與原網絡G具有相同的節點數,但邊上的容量有所不同,在L上進行增廣,將增廣後的流值回寫到原網絡上,再建立當前網絡的輔助網絡,如此反覆,達到最大流。分層的目的是降低尋找增廣路的代價。
算法的時間複雜度爲O(V^2*E)。其中m爲弧的數目,是多項式算法。鄰接表表示圖,空間複雜度爲O(V+E)。
2.預流推進算法
一般性的push-relabel算法: 時間複雜度達到O(V^2*E)。(*)
relabel-to-front算法->改進
最高標號預流推進:時間複雜度O(V^2*sqrt(E))
NO2. 最小費用最大流
求解最小費用流的步驟和求最大流的步驟幾乎完全一致,只是在步驟1時選一條非飽和路時,應選代價和最小的路,即最短路。
步驟1. 選定一條總的單位費用最小的路,即要給定最小費用的初始可行流,而不是包含邊數最小的路。
步驟2. 不斷重複求最大流的步驟來進行,直到沒有飽和路存在爲止。然後計算每個路的總費用。
和Edmonds-Karp標號算法幾乎一樣,因爲這兩種算法都使用寬度優先搜索來來尋找增廣路徑,所以複雜度也相同,都是O(V*E^2)。
連續最短路算法 + 線性規劃對偶性優化的原始對偶算法(*)
傳說中,沒見過,據說複雜度是O(V^3)
NO3. 有上下屆的最大流和最小流(通過添加點來進行轉化)(*)
NO4. 相關圖論算法
二分圖最大匹配: 加s和t構造最大流
專用算法:hungary算法 O(M*N)
二分圖最佳匹配: 加s和t構造最小費用最大流
專用算法:KM算法
樸素的實現方法,時間複雜度爲O(n^4)
加上鬆弛函數O(n^3)
最小路徑覆蓋:
頂點數-二分圖的最大匹配
s-t最小邊割集:
最大流最小割定理:最小割等於最大流
普通最小邊割集:
Stoer-Wagner Minimum Cut O(n^3)
二分圖的最大獨立集:
N - 二分圖的最大匹配(POJ monthly)girls and boys
反證法證明
普通圖的最大獨立集是np問題。(*)
加*的爲目前我尚未有標程的算法.
轉自:http://hi.baidu.com/flymouse/blog/item/c4752df57a779325bc310982.html