一. 混合積
定義：向量a與b的外積仍是一個向量，因而它還可以與另一個向量c做內積：(a×b)·c = |a×b||c|cosθ
= |a×b|h。它成爲a, b,c的混合積，記作(a,
b, c) = (a×b)·c。如上圖所示。
幾何意義：因|a×b|等於以a,b爲鄰邊的平行四邊形面積，故|(a,
b, c)|等於以a, b,
c爲鄰邊的平行六面體的體積。
性質：
- (a, b, c) = (b,c, a) = (c, a,b) = -(b, a, c) = -(c,b, a) = -(a, c,b)；
- (λa1 + μa2, b, c) = λ(a1,b, c) + μ(a2, b,c)，對任意實數λ, μ成立；
- 若{e1, e2, e3}是互相正交的組成右手系的單位向量，則(e1,e2, e3) = 1；
- a, b, c共面的充要條件是：(a,b, c) = 0。
- 應用混合積求解不同座標系間的座標轉換問題：
設a, b, c爲三個不共面的向量。求任意向量d關於a,b,
c的分解式d = xa + yb +zc。
解：根據向量加法的性質，d可以表示成上式。兩邊與b, c取混合積，得
(d, b, c) = (xa+yb+zc,b,
c)
=((xa+yb+zc)×b)·c
=(xa×b+yb×b+zc×b)·c
=(xa×b+zc×b)·c
（根據外積的性質，b×b = 0）
=(xa×b)·c
+ (zc×b)·c
=x(a, b, c) （根據外積性質，c×b與c正交，據內積性質，(c×b)·c
= 0）
因爲(a, b, c)不共面，所以(a,b, c) ≠ 0，於是解得 x = (d, b, c)/(a, b, c)，同理可得 y = (a, d, c)/(a,b, c)，z = (a, b,d)/(a, b, c)。這其實就是解線性代數方程組的克萊姆法則。
二. 雙重外積公式與拉格朗日恆等式
雙重外積公式：(a×b)×c =
b(a·c) -a(b·c).
拉格朗日恆等式：(a×b)·(c×d) = (a·c)(b·d)
- (a·d)(b·c).
證拉格朗日恆等式：
(a×b)·(c×d) = (c,d,
a×b) （根據混合積定義：(a,b,
c) = (a×b)·c）
= (a×b,c,
d) (根據混合積性質: (a, b,
c) = (b, c, a) = (c,
a, b))
= ((a×b)×c)·d
= (b(a·c) -a(b·c))·d
= (a·c)(b·d)
- (a·d)(b·c).
三.參考
[1]
蘇步青. 空間解析幾何. 上海：上海科技出版社，1984
