三維空間中的圓與三角形（二）：圓與外切三角形

        圓的參數方程（字母所代表含義可參見【第六回】OCCT之Package Geom的曲線曲面參數方程解析）：

P(U) = O + R*Cos(U)*XDir + R*Sin(U)*YDir

已知△ABC，求此三角形的內切圓。

        首先求圓心O。三角形的內心是角平分線的交點，可通過先求得兩個角的角平分線，然後求其角點，如下圖所示：

AD爲∠CAB的角平分線，BE爲∠ABC的角平分線，點O爲AD與BE的交點，即爲該三角形的內心。

        先求得邊AB,BC和CA的直線參數方程：(v1,v2,v3均爲單位向量)

lAB: P1 = A + t1v1;
lBC: P2 = B + t2v2;
lCA: P3 = C + t3v3.

角平分線的求法：可根據等邊平行四邊形定則進行求解。現在求∠CAB的角平線AD，在上圖中，四邊形AFIG爲等邊平行四邊形，邊長爲單位1，AI = v1 - v3，則角平分線AH的參數方程爲：

lAH: P4 = A + t4×normal(v1-v3);

同理可的角平分線BE的參數方程爲：

lBE: P5 = B + t5×normal(v2-v1);

根據這兩個方程可求得交點O，兩直線的交點求法參見三維空間中的兩直線相交。

        求得圓心O後，再求其半徑。半徑即爲點O到任意一條邊上的垂足的距離，如上圖所示，點O到邊AB上的垂足爲J，|OJ|即爲所求半徑。垂足I的求法：(O-(A+t1v1)).v1 = 0，求出t1，即可得垂足I爲A+t1v1。

        現在需要求得內切圓的X軸參考方向和Y軸參考方向，X軸參考方向可選爲v1。先求圓的法向v1×v2，則Y軸的參考方向爲：normal(v1×v2×v1)。

        至此，圓所需的參數全部求得。