線性代數筆記（1）：向量空間與子空間

原創

2020-02-22 13:42

一、向量空間的定義：

A vector space V over a field F consists of a set on which two operations (called addition and scalar multiplication) are defined, so that the following 10 properties hold.

（VS-1）x + y ∈ V，whenever x, y ∈ V. （加法封閉性）

（VS 0）ax ∈ V, whenever a ∈ F and x ∈ V. （乘法封閉性）

二、子空間的定義：

三、如何判斷一個集合是子空間

四、與子空間有關的定理

Thm 1.4：一個向量空間V的任意子空間之交集，仍然是V的子空間。

五、Direct Sum的概念

E.g.

六、Span的概念

不僅如此，我們還可以定義更廣義的Span，此時向量空間中的一個元素將可以是更加泛化的對象（例如矩陣或多項式等）。

Thm 1.5：(i) Span(S) is a subspace of V；(ii) W is a subspace of V and S ⊂ W。Then Span(S) ⊂ W。i.e., Span(S) 是包含S的最小的子集空間。

七、線性獨立與線性相關

定義：A subset S of a vector space V is called 線性相關，if ∃ distinct vectors u1, u2, …, un in S and scalars a1, a2, …, an not all 0, 使得

In this case, we also say that vectors of S are 線性相關（Any set S containing the 0 vector of 線性相關）。

一個集合是線性相關的，即是零向量可由集合中之向量非“trivial”的線性組合起來。或是說此集合有一個向量可用集合中其他向量線性組合起來，此處“trivial”是指組合係數皆爲0。

八：基的概念

定義：A basis B for a vector space V is a 線性獨立的 subset of V that generates V。

Thm 1.8：a vector space B = {u1, u2, …, un}, then

九：維度的概念

一個向量空間的基底的元素個數不一定是有限的，但下面的定理表明“如果這個向量空間可由一個有限集合所生成，則詞此向量空間必有一個有限基底”。

Thm 1.9：Let V=Span(S)，where #(S)<∞. Then some subset of S is a basis for V. Hence V has a finite basis.

如果一個向量空間有一個有限的基底，那麼其它基底的元素個數是否相同呢？事實上我們可以證明：如果一個向量空間是由多個向量所張出的空間，則此向量空間不可能含有一個無限的線性獨立集。更進一步，我們還可以得到：

由此我們可以來定義維度的概念：

A vector space, is called finite-dimensional if it has a finite basis.
The number of vectors in a basis is called the dimension of V and is denoted by dim(V).
A vector space that is not finite-dimensional is called infinite-dimensional.

最後我們還可以得出如下推論：If W is a subspace of a finite-dimensional vector space V, then any basis for W can be extended to a basis for V.