【線性代數（2）】n階行列式三種定義

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1. 回顧

先回顧一下之前的三階行列式，看一下其中的規律
$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}= a_{11}*a_{22}*a_{33}+a_{12}*a_{23}*a_{31} +a_{13}*a_{21}*a_{32}-a_{13}*a_{22}*a_{31}-a_{12}*a_{21}*a_{33}-a_{11}*a_{23}*a_{32}$

觀察一下最後的運算結果，也就得出了三階行列式展開的定義

• 行標：取標準排列（全部都是123）
• 列標：取排列的所有可能，從不同行不同列中取出三個元素相乘，符號是由列標排列的奇偶性決定的，詳情如下

運算符號	元素下標	逆序數
+	123	0
+	231	2
+	312	2
-	321	3
-	213	1
-	132	1

2. n階行列式

2.1 第一種定義（按行展開）

三階行列式展開定義的推廣，也就是行標取標準排列，列標取排列的所有可能，從不同行不同列中取出n個元素相乘，符號是由列標排列的奇偶性決定的，共有 $n!$ 項，公式如下：

$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ .& .& . . .& .\\ a_{n1} & a_{n2} & ... &a_{33} \end{vmatrix}= \sum_{j_{1}j_{2}...j_{n}}{(-1)}^{N(j_{1}j_{2}...j_{n})}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}...a_{nj_{n}}$

其中：

$a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}...a_{nj_{n}}$ 等於所有取自不同行不同列的n個元素的乘積；

$N(j_{1}j_{2}...j_{n})$ 表示列標的逆序數（奇偶性）；

$\sum_{j_{1}j_{2}...j_{n}}$ 表示對所有n級排列求和（進行累加）；

2.2 表示方式

行列式的表示方式：$D = |a_{ij}|$，其中有個性質就是$|a_{11}| = a_{11}$

注意和數學上的區別：比如就存在這種現象：$|-1| = -1$和$|-1| = 1$

$|a_{11}| = a_{11}$ 這裏指的是行列式
$|a_{11}| = \pm\ a_{11}$ 這裏指的是絕對值

2.3 舉個例子

$\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 8\\ 1 & 1 & 0 & 4\\ 2 & 2 & 0 &5\\ 1&0&0&9\end{vmatrix}$

進行展開的時候，行標不變，主要是列標的改變，共有$4!=24$項，不妨進行展開看一下

以標準排列爲基準，計算出其逆序數，判斷運算符號，然後在根據對換數判斷其他元素下標的運算符號，也就省去了其他元素下標進行逆序數的計算

運算符號	元素下標	逆序數	對換數	展開項
+	1234	0		$+1*1*0*9$
-	1243		1	$-1*1*5*0$
-	1324		1	$-1*0*2*9$
+	1342		2	$+1*0*5*0$
…	…	…	…	…

真的要把24項全部展開真的太浪費時間了，通過上面的展開，可以發現有些展開項中存在着0這個元素，所以相乘的結果也是0，故該項就爲0，這樣的話就可以簡化一些特殊的行列式，也是屬於考試的重點

比如下面行列式：
$\begin{vmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 &2\\ 1&0&0&0\end{vmatrix}$

可以發現每列只有一個元素不爲零，且對應的列標爲2341，那麼最後該4階行列式展開的結果爲：$D = (-1)^{N(2341)}1*1*2*1 = -2$

2.4 三角行列式

上下三角及對角行列式都是針對於主對角線（從左上到右下）來講的，其對稱形式也就是針對於副對角線

計算下面行列式展開項的結果
$\begin{vmatrix}a_{11} & 0 & ... & 0 \\ a_{21} & a_{22} & ... & 0\\ .& .& . . .& .\\ a_{n1} & a_{n2} & ... &a_{nn} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}...a_{nn}$

那麼按照第一種定義來展開的話，

（1）首先要明確屬於特殊的行列式，第一行除了第一個元素全是0，那麼在取列表進行排列時候，只能取第一個；

（2）接着往下取，每次的展開項都是要由不同行不同列的n個元素相乘，所以最後只能取得元素就是$a_{11}a_{22}...a_{nn}$；

（3）最後就是進行前面正負1的判定，下標爲標準排列，前面符號取正；

（4）所以最終的下三角行列式的展開結果就爲主對角線的乘積

上三角和對角線行列式也是同理，這時候取元素的時候從最後一行開始取即可
$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & ... & a_{2n}\\ .& .& . . .& .\\ 0 & 0 & ... &a_{nn} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}...a_{nn}$

$\begin{vmatrix}a_{11} & 0 & ... &0 \\ 0 & a_{22} & ... & 0\\ .& .& . . .& .\\ 0 & 0 & ... &a_{nn} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}...a_{nn}$

注意上/下三角和對角線行列式的對稱形式，其中的符號問題，如下

$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & 0\\ .& .& . . .& .\\ a_{n1} & 0 & ... &0 \end{vmatrix}= (-1) ^{N(n(n-1)...3*2*1)}a_{1n}a_{2(n-1)}...a_{n1}= (-1)^{ \frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2(n-1)}...a_{n1}$

$\begin{vmatrix}0 & 0 & ... & a_{1n} \\ 0& a_{22} & ... & a_{2n} \\ .& .& . . .& .\\ a_{n1} & a_{n2} & ... &a_{nn}\end{vmatrix}= (-1) ^{N(n(n-1)...3*2*1)}a_{1n}a_{2(n-1)}...a_{n1} = (-1)^{ \frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2(n-1)}...a_{n1}$

$\begin{vmatrix}0 & 0 & ... & a_{1n} \\ 0& a_{22} & ... & 0\\ .& .& . . .& .\\ a_{n1} & 0 & ... &0 \end{vmatrix}= (-1) ^{N(n(n-1)...3*2*1)}a_{1n}a_{2(n-1)}...a_{n1} = (-1)^{ \frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2(n-1)}...a_{n1}$

2.5 第二種定義（按列展開）

還是先拿三階行列式進行展開示例：
$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}= a_{11}*a_{22}*a_{33}+a_{31}*a_{12}*a_{23} +a_{21}*a_{32}*a_{13}-a_{31}*a_{22}*a_{13}-a_{21}*a_{12}*a_{33}-a_{11}*a_{32}*a_{23}$

第二種定義爲（按列展開）：列標標取標準排列，行標取排列的所有可能，從不同行不同列中取出n個元素相乘，符號是由行標排列的奇偶性決定的，共有 $n!$ 項，公式如下：

$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ .& .& . . .& .\\ a_{n1} & a_{n2} & ... &a_{33} \end{vmatrix}= \sum_{i_{1}i_{2}...i_{n}}{(-1)}^{N(i_{1}i_{2}...i_{n})}a_{i_{1}1}a_{i_{2}2}...a_{i_{n}n}$

2.6 第三種定義（隨意展開）

這種展開就是既不按照行排列，也不按照列進行排列，還是以三階的行列式爲例，展開的每一項都是有三個元素相乘，如果隨意的打亂其中的位置，比如把上面的a11​∗a22​∗a33，變成a33∗a22​∗a11，就變成亂序了，也就不符合上面的前兩種定義，這時候的展開項的公式如下

$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ .& .& . . .& .\\ a_{n1} & a_{n2} & ... &a_{33} \end{vmatrix}= \sum_{}{(-1)}^{N(i_{1}i_{2}...i_{n}) + N(j_{1}j_{2}...j_{n})}a_{i_{1}j_{1}}a_{i_{2}j_{2}}...a_{i_{n}j_{n}}$

2.7 習題舉例

一個行列式的展開式如下，求解其中的i,k,m參數及最後的展開項
$(-1)^{N(i21m)+N(1k32)}a_{i1}a_{2k}a_{13}a_{m2}$

解：

① 首先看符號這裏的判定，既不屬於行標也不屬於列標展開，故爲第三種定義展開

②其次，看下標，一個是i21m，一個是1k32，由於是由排列組成的，所以k = 4, i = 3, j = 4 或者 k = 4, j = 3, i = 4

③接着求解逆序數（很明顯兩個答案對應的結果是一奇一偶，因爲經過一次對換），N(3214) + N(1432)= 6; N(4213) + N(1432)=7

④最後展開項爲$a_{31}a_{24}a_{13}a_{42}$ 或者 $-a_{41}a_{24}a_{13}a_{32}$

至此，n階行列式的內容梳理完畢，下一部分爲行列式性質的介紹