非線性方程求解 ：二分迭代法和牛頓迭代法

在機器人算法開發中，經常會遇到求解非線性方程。非線性方程的求解十分困難，這裏介紹兩種方法：

1. 二分法 2.牛頓迭代法

定義：

非線性方程,就是因變量與自變量之間的關係不是線性的關係,這類方程很多,
例如平方關係、對數關係、指數關係、三角函數關係等等.
求解此類方程往往很難得到精確解,經常需要求近似解問題.

二分法：

二分法又稱二分區間法,是求解非線性方程的近似根的一種常用的簡單方法.
二分法的基本思想是: 首先確定有根區間,將區間二等分, 通過判斷f(x)的符號,
逐步將有根區間縮小, 直至有根區間足夠地小, 便可求出滿足精度要求的近似根。

首先應確定方程在[a,b]區間確定存在至少一個實數根：
由高等數學知識知, 設f (x)爲區間[a,b]上的單值連續, 如果f (a)·f (b)<0 , 
則[a,b]中至少有一個實根。如果f (x)在[a,b]上還是單調地遞增或遞減，
則僅有一個實根.

二分法求根過程

設方程f(x)=0在區間[a,b]內有根,二分法就是逐步收縮有根區間，最後得出所求的根。具體過程如下

① 取有根區間[a,b]之中點, 將它分爲兩半x0=(a+b)/2,分點,這樣就可縮小有根區間
② 對壓縮了的有根區間[a1,b1]施行同樣的手法,即取中點x1=(a1+b1)/2,
  將區間[a1,b1]再分爲兩半,然後再確定有根區間[a2,b2]],其長度是[a1,b1]的二分之一.
③ 如此反覆下去,若不出現f(xk)=0,即可得出一系列有根區間序列,每個區間都是前一個區間的一半,
  因此[ak,bk]的長度:

$b_k-a_k=\frac{b_{k-1}-a_{k-1}}{2}=...=\frac{b-a}{2^k}$

當k->∞時趨於零，區間最終收斂於一點x即爲所求的根.

只要二分足夠多次，便有：

$|x^*-x_k|<\epsilon \\ \epsilon 是給定的精度，當\\ k \ge\frac{lg(b-a)-lg\epsilon}{lg2}-1時，做到k+1次二分，\\ \\ 計算得到的x_k就是滿足滿足精度的近似解,在程序中通常用相鄰的x_k與x_{k-1}的差的絕對值\\ 或a_k與b_k的差的絕對值是否小於ε來決定二分區間的次數。$

流程圖：

牛頓迭代法

牛頓迭代法一種重要和常用的迭代法, 它的基本思想是將非線性函數f(x)逐步線性化, 從而將非線性方程f(x)=0近似地轉化爲線性方程求解。

牛頓迭代法的推導：
對於方程f(x)=0,設其近似根爲xk, 函數f(x)可在xk附近作泰勒展開

$f(x)=f(x_k)+f^{'}(x-x_k)+\frac{f^{''}(x_k)(x-x_k)^2}{2}+...\\ 忽略高次項\\ f(x)≈f(x_k)+f^{'}(x_k)(x-x_k)\\ 設x^*爲實際根，則有f(x^*)=0，即\\ x^*=x_k-\frac{f(x_k)}{f^{'}(x_k)}\\ 這就是牛頓迭代公式：\\ x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^{'}(x_k)}\\$

流程圖：

算法實踐

根據S形曲線加減速算法

設置參數條件爲：

$S = 5.3\\ Vm = 5\\ V_s = 0\\ V_e = 30\\ A = 100\\ J = 600\\$

推導得知，按照V,J加速到Ve，位移S’>S，即需要降低Ve,解得合適的Ve使得S’=S.
S'計算公式如下：

$\begin{cases} t1=\frac{A}{J}\\ t_2=\frac{V_e-V_s}{A}-t_1\\ S'=\frac{(V_s+V_e)}{2}*(2t_1+t_2)\\ \end{cases}$

使用二分法和牛頓法兩種方法迭代計算Ve.

二分法：

核心代碼：
            //二分法
            double a,b;
            int n=0;
            b = ve;
            a = tmp;

            while(1){
                tmp = (a+b)/2;
                n++;
                S1 = CalSacc(vs,tmp,A,J);

                if(fabs(S1-S)<1e-6){
                    break;
                }

                if(S1 > S){
                    b = tmp;
                }
                else{
                    a = tmp;
                }
            }

共計迭代了n=21次，近似解Ve=25.2738762

牛頓法：

核心代碼：
            //牛頓法
            double a,b,c;
            int n=0;
            tmp = (tmp+ve)/2;
            while(1){
                n++;
                //ve 在 A*A/J+vs 和 ve之間

                a = (vs+tmp)*(A/J+(tmp-vs)/A)-2*S;
                b = A/J+(tmp-vs)/A+(vs+tmp)/A;
                c = tmp-a/b;
                if(fabs(c-tmp)<1e-6){
                    break;
                }
                tmp = c;

            }

共計迭代了n=4次，近似解Ve=25.2738749

可知，牛頓迭代法的收斂速度遠快於二分法，有助於節約處理器的計算資源.