【線性代數（3）】行列式的七大性質及推論

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1 轉置

行列式轉置：就是把行列進行調換，行變成列，列變成行

$D = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \Rightarrow \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } D^{T}=\begin{vmatrix}1 & 4& 7 \\ 2 & 5 & 8\\ 3 & 6 & 9 \end{vmatrix}$

兩次轉置之後就回去了，因此行列式的第一個性質就有了

轉置特性： $\mathbf{((D^{T})^{T}) \Rightarrow D}$

看一下行列式及其轉置展開後數值的關係，比如原行列式按行展開，取其列標爲132，則對應的展開項就爲$(-1)^{N(132)}1*6*8$，而該行列式的轉置採用按列展開，要想也取相同的元素，則應取其行標爲132，則對應的展開項就爲$(-1)^{N(132)}1*6*8$，由此可知，原行列式的展開項和轉置後的展開項是一致的，故行列式的值是相等的，也就有了第二個性質

性質（1）： $\mathbf{D^{T} = D}$

性質1雖然簡單，但是有種萬丈高樓平地起的感覺（很基礎但又有決定性意義），翻譯過來就是：行列式中對行成立的性質，對列也同樣成立，因此在證明的時候，就只需要證明性質對行成立即可，默認就是對列成立

2 行列性質

性質（2）：行列式的兩行（列）互換，值變號

比如將下面的行列式的第一行和第三行進行調換
$D = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\ 5 & 6 & 7 & 8\\ 9& 10 & 11 &12\\ 13 & 14 & 15 &16\end{vmatrix} \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \Rightarrow \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ }D_{1}= \begin{vmatrix}9& 10 & 11 &12\\ 5 & 6 & 7 & 8\\1 & 2 & 3 & 4 \\ 13 & 14 & 15 &16\end{vmatrix} =-D$

證明：將D進行展開（第一種定義），假如取的元素是2,7,12,13，其對應的行標爲1,2,3,4，列標爲2,3,4,1，所以對應的展開項就爲：$(-1)^{N(2341)}2*7*12*13$，要使$D_{1}$取相同的元素，其對應的行標爲3,2,1,4，列標爲2,3,4,1，因此$D_{1}$的展開是屬於第三種定義，對應的展開項就爲：
$(-1)^{N(3214)+N(2341)}2*7*12*13=(-1)^{N(3214)}(-1)^{N(2341)}2*7*12*13$

其中$(-1)^{N(3214)}$可以和$(-1)^{N(1234)}$進行對比，可以發現1和3進行了一次對換，因此前一項的結果就是-1，而後面的結果就是相同的，故經過行互換的行列式的每一項都是原來展開項的相反數，最終的結果也就是互換後行列式的值變號

爲啥會多一個負號？根據展開項的標號來看，列標是沒有發生變化的（比如都是2341），經過變換後行標發生改變，變化的過程爲：原來的1234變化爲3214，就是進行了一次對換，所以會多出來一個負號

性質（3）：兩行（列）相等，行列式的值爲0 $\Rightarrow \mathbf{D = 0}$

參考一下如下行列式的變換過程
$D = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\ 5 & 6 & 7 & 8\\ 1& 2& 3 &4\\ 13 & 14 & 15 &16\end{vmatrix} \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \Rightarrow \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } -D= \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8\\1 & 2 & 3 & 4 \\ 13 & 14 & 15 &16\end{vmatrix} =D$

根據上面的性質（2），將第一行和第三行進行互換，行列式的值變號，所以最後就有了行列式的值爲0$-D = D \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ }\Rightarrow \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } D = 0$

性質（4）：某一行乘以k，等於用k乘以D

$D = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\ 5k & 6k & 7k & 8k\\ 9& 10& 11 &12\\ 13 & 14 & 15 &16\end{vmatrix} \text{ } \text{ } = \text{ } \text{ } k\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8\\9& 10& 11 &12 \\ 13 & 14 & 15 &16\end{vmatrix} =k*D$

主要用的是該性質的推論：某一行有公因子k，k可以提到外邊去；n階行列式所有元素都有公因式k，公因式外提n次，如下，有4行就可以提4個k，故是k的四次方
$D = \begin{vmatrix}1k & 2k & 3k & 4k\\ 5k & 6k & 7k & 8k\\ 9k& 10k& 11k &12k\\ 13k & 14k & 15k &16k\end{vmatrix} \text{ } \text{ } = \text{ } \text{ } k^{4}\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8\\9& 10& 11 &12 \\ 13 & 14 & 15 &16\end{vmatrix} =k^{4}*D$

性質（5）：兩行（列）對應成比例，行列式值爲0 $\Rightarrow \mathbf{D = 0}$

行列式變換過程如下：借用性質（3）：兩行（列）成比例，行列式的值爲0
$D = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1\\ 8 & 8 & 8 \end{vmatrix} \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \Rightarrow \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } 8 \begin{vmatrix}1 &2& 3 \\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$

推論：某一行全爲0， 該行列式的值爲0 $\Rightarrow \mathbf{D = 0}$
$D = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\0& 0 & 0\\ 8 & 8 & 8 \end{vmatrix} \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \Rightarrow \text{ } \text{ } \text{ } \begin{vmatrix}1 &2& 3 \\ 0*8 & 0*8 & 0*8\\ 8 & 8 & 8 \end{vmatrix} \text{ } \text{ } \Rightarrow \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } 0 \begin{vmatrix}1 &2& 3 \\ 8 & 8 & 8\\ 8 & 8 & 8 \end{vmatrix} = 0$

上面的過程是用性質（5）證明的推論，當然也可以使用行列式的定義來證明，因爲每一個展開項都需要取到行爲0的元素，也就是說每個展開項都會和0相乘，故最後的值爲0

小結一下關於行列式爲0的性質和推論，以下有三種

易錯點： 當行列式的值爲0時，左側的三個至少有一個成立（這種說法是錯誤的，只能正向推）

舉個反例
$D = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\4& 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 0$

性質（6）：加法可拆性，和的那一行分開，其餘行保持不變

梳理過程如下：
$D = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\4 + 1& 5+2 & 6+3\\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \Rightarrow \text{ } \text{ } \text{ } \begin{vmatrix}1 &2& 3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix}1 &2& 3 \\ 1 & 2 & 3\\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \text{ } \text{ } = 0 + 0 = 0$

注意這種加法可拆性是針對有和的那一行，其餘的是不變的，比如

易錯點： 直接將多行按照一行來拆分，
$\begin{vmatrix}a+b & b+c & a+c \\ a+c &a+b& b+c \\ b+c & a+c & a+b \end{vmatrix} \text{ } \text{ } \text{ } \text{ }!=\text{ } \text{ } \text{ } \begin{vmatrix}a& b & c \\ a &b& c \\ b & c & a\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}b & c & c \\ c &a& b \\ c & a & b \end{vmatrix}$

正確結果應該是拆分爲$2^3 = 8$項
$\begin{vmatrix}a+b & b+c & a+c \\ a+c &a+b& b+c \\ b+c & a+c & a+b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a& b & c \\a+c &a+b& b+c \\ b+c & a+c & a+b\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}b & c & c \\ a+c &a+b& b+c \\ b+c & a+c & a+b \end{vmatrix} = ......$

性質（7）：某一行（列）乘以一個數，加到某一行（列），行列式的值不變

證明過程梳理如下：比如第一行乘以5加到第二行，然後使用性質（5）和性質（6），即可得證
$D = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\1& 1 & 0\\ 9& 9 & 10 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\1+5& 1+10 & 0+15\\ 9& 9 & 10 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\1& 1 & 0\\ 9& 9 & 10 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\5& 10 & 15\\ 9& 9 & 10 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\1& 1 & 0\\ 9& 9 & 10 \end{vmatrix}$

3 行列式值的計算

核心思想：將行列式轉化爲上三角行列式，最後的值就爲主對角線各元素之和
操作步驟：①先處理第一列，再處理第二列，再第三列…
②第一列處理完，接下來第一列不再參與運算；第二列處理完，接下來第二列不再參與運算…

比如：先將第一列非第一行所有元素化爲0，然後相同的方法操作第二列，緊接着第三/四列
$D = \begin{vmatrix}1 & 2 & 0 & 1\\ 2 & 3 & 10 & 0\\ 0& 3& 5 &18\\ 5 & 10 & 15 &4\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 10& -2\\0& 3& 5 &18\\ 5 & 10 & 15 &4\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 10& -2\\0& 3& 5 &18\\ 0 & 0 & 15 &-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 10& -2\\0& 0& 35 &12\\ 0 & 0 & 0 & -\frac{43}{7}\end{vmatrix} = 215$

注意：如果第一行的第一個元素不是1，要找到行數爲1的進行調換位置，或者找到方便轉化爲1的行數進行調換，然後繼續執行上訴的步驟，如下：

① 找到元素爲1的行
$\begin{vmatrix}8 & 2 & 0 & 1\\ 1 & 3 & 10 & 0\\9& 3& 5 &18\\ 3 & 10 & 15 &4\end{vmatrix} \Rightarrow \begin{vmatrix}1 & 3 & 10 & 0\\ 8 & 2 & 0 & 1\\0& 3& 5 &18\\ 3 & 10 & 15 &4\end{vmatrix}$
② 找到方便轉化爲1的行再調換

$\begin{vmatrix}8 & 2 & 0 & 1\\ 3 & 3 & 6 & 9\\9& 3& 5 &18\\ 3 & 10 & 15 &4\end{vmatrix} \Rightarrow 3\begin{vmatrix}8 & 2 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 2 & 3\\9& 3& 5 &18\\ 3 & 10 & 15 &4\end{vmatrix} \Rightarrow 3\begin{vmatrix}1 & 1 & 2 & 3\\ 8 & 2 & 0 & 1\\9& 3& 5 &18\\ 3 & 10 & 15 &4\end{vmatrix}$

至此行列式的7大性質及其推論，全部梳理完畢，下一部分梳理行列式計算的實例