【線性代數（1）】二階三階不等式

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1. 數學與線性代數中的部分區別

• 在數學中：
  $2*3 = 3*2$
  $ab = ab$
  $\frac{1}{a}$

• 在線性代數中
  $AB != BA$
  $! \frac{1}{a}$

• 特別注意：0在線性代數中有多層含義

  ① 代表數字0

  ② 代表矩陣0

  ③ 代表0向量

2.方程組

小例子
$\begin{cases} 5x+6y=7 \\ 9x+4y=3 \end{cases}$

• 解方程初步
  $\begin{cases} x= \frac{7*4 - 6*3}{5*4-6*9} \\ y= \frac{3*5 - 7*9}{5*4-6*9} \end{cases}$
• 定義一個新運算

$\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\\ \end{vmatrix}= ad-cb$

• 使用新運算求解

$\begin{cases} x =\frac{\begin{vmatrix}7 & 3 \\ 6 & 4\\ \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}5 & 9 \\ 6 & 4\\ \end{vmatrix}} \\ y= \frac{\begin{vmatrix}3 & 9 \\ 7 & 5\\ \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}5 & 9 \\ 6 & 4\\ \end{vmatrix}} \end{cases}$

3. 二階行列式

特徵：2行2列共4個元素$a_{ij}$，其中i表示行標，j表示列標

可以使用下列式子進行表達，運算時對角線相乘後進行減法處理

$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\\ \end{vmatrix}= a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

比如
$\begin{vmatrix}愛 & 輩 \\ 子 & 你 \\ \end{vmatrix}= 愛你一輩子$

4. 三階行列式

先來個小例子

$\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 8 \end{vmatrix}= 1*5*9+2*6*7 +4*8*3-3*5*7-2*4*9-1*6*8$

計算方式（圖片來源於百度）

5. 排列

（1）定義：由 1,2,3，…，n 組成的一個有序數組，叫做n級排列

• 注意： 3145是一個排列嗎？

• 考察的知識點對應就是上面的…，就是中間的數字一個也不能少，（中間不能缺數），所以3145不是一個排列

（2）n級排列方式：$n(n-1)...3*2*1 = n！$

（3）逆序：比較大的數排在了較小數的前面，比如：4213

（4）逆序數：逆序的總數，數逆序數是要從第一個數開始數後面有幾個比其小的，切記順序，不能亂來，用 N() 表示

• （比如4213，4後面有3個比其小的數，2後面有1個，1後面沒有，所以總共有4個）

（5）奇/偶排列：如果逆序數的爲奇數就是奇排列，是偶數就是偶排列

（6）標準排列（自然排列）：$N(1,2,3,...,n) = 0$

（7）倒序排列： $N(n, n-1,...,3,2,1) = \frac{n(n-1)}{2}$

（8） 對換：交換兩個數，

• 比如：$N(54123) = 4+3+0 = 7$ 奇排列

• 1和2對換 $N(54213) = 4 + 3 + 1 = 8$ 偶排列

（9）結論：一個排列經過一次對換，奇偶性改變一次

（10） 推廣：如果一個排列做奇次性對換，性質發生改變；如果是偶次性對換，性質不變,也就是‘奇變偶不變’

6. 定理

最後一部分爲了方便日後的翻閱，將定理都放置在最後一部分

定理1：在n級排列中，奇排列和偶排列各佔 $\frac{n!}{2}$

這一節的內容是基礎知識的講解，爲了引出下部分的n階行列式