線性代數學習筆記（十一）——特殊矩陣

本篇筆記介紹了幾種特殊矩陣，包括數量矩陣、對角型矩陣、三角型矩陣、對稱矩陣和反對稱矩陣，需要注意的是這些特殊矩陣都是方陣。其中對稱矩陣和反對稱矩陣的兩個結論比較重要，在做題時基本都會用到，需要記住。

1 數量矩陣

主對角線元素全都相等，其餘元素全都爲零的矩陣。
$\bcancel{\begin{bmatrix} a&0&{\cdots}&0\\ 0&a&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&a\\ \end{bmatrix}}$

很明顯，數量矩陣將主對角線元素提到外面後，矩陣將變成一個單位陣，即矩陣：
$=aE$

因爲$a$可以等於$0$或$1$，所以$O$和$E$都是特殊的數量矩陣。

數與數量矩陣相乘，以及數量矩陣之和、數量矩陣相減或數量矩陣相乘，仍然是數量矩陣。
$b\begin{bmatrix} a&0&{\cdots}&0\\ 0&a&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&a\\ \end{bmatrix}=abE$

$\begin{bmatrix} 1&0&{\cdots}&0\\ 0&1&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&1\\ \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 2&0&{\cdots}&0\\ 0&2&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&2\\ \end{bmatrix}=3E$

$\begin{bmatrix} 1&0&{\cdots}&0\\ 0&1&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&1\\ \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 2&0&{\cdots}&0\\ 0&2&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&2\\ \end{bmatrix}=-E$

$\begin{bmatrix} 1&0&{\cdots}&0\\ 0&1&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&1\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2&0&{\cdots}&0\\ 0&2&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&2\\ \end{bmatrix}=2E$

注意：矩陣相加或相減時兩個矩陣必須爲同型矩陣，矩陣相乘時必須第一個矩陣的列數等於第二個矩陣的行數（由於單位陣都是方陣，所以上述兩個相乘的矩陣其實是同階的方陣）。

對於數量矩陣$aE$和任意可乘矩陣$B$，有：$(aE)B=B(aE)=aB$。

由前面的介紹可知：$AE=EA=A$，但右乘的$E$和左乘的$E$並不相同。
例如：$A_{2×3}E_3=E_2A_{2×3}$中$E_3$和$E_2$階數並不相同。

2 對角型矩陣

主對角線元素從$a_1$、$a_2$到$a_n$，其餘元素全都爲零的矩陣。
$\bcancel{\begin{bmatrix} a_1&0&{\cdots}&0\\ 0&a_2&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&a_n\\ \end{bmatrix}}$

對角型矩陣可寫爲：$diag(a_1,a_2,...,a_n)$

例如$diag(1,2,3,4)$表示如下矩陣：
$\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&2&0&0\\ 0&0&3&0\\ 0&0&0&4\\ \end{bmatrix}$

注意不是$\begin{bmatrix}1&2&3&4\end{bmatrix}$行矩陣。

很顯然，數量矩陣也是一種特殊的對角型矩陣。

與數量矩陣類似，數與對角型矩陣相乘，以及對角型矩陣之和、對角型矩陣相減或對角型矩陣相乘，仍然是對角型矩陣，其和、差、積是其主對角線對應元素相加、相減和相乘所得到的對角型矩陣。

例1：設矩陣$A=diag(k_1,k_2,k_3)$，矩陣$B=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&2&2\\8&8&8\end{bmatrix}$，求$AB$和$BA$。

① $AB=\begin{bmatrix}k_1&0&0\\0&k_2&0\\0&0&k_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&3\\2&2&2\\8&8&8\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix}1k_1&2k_1&3k_1\\2k_2&2k_2&2k_2\\8k_3&8k_3&8k_3\end{bmatrix}$

不難發現：對角矩陣左乘另一個矩陣，相當於用對角元素依次乘以這個矩陣的行。

② $BA=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&2&2\\8&8&8\end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_1&0&0\\0&k_2&0\\0&0&k_3\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix}1k_1&2k_2&3k_3\\2k_1&2k_2&2k_3\\8k_1&8k_2&8k_3\end{bmatrix}$

同理，不難發現：對角矩陣右乘另一個矩陣，相當於用對角元素依次乘以這個矩陣的列。

3 三角型矩陣

3.1 上三角型矩陣

主對角線以下元素全爲零的矩陣。
例如：$\bcancel{\begin{bmatrix}1&1&1\\\color{red}{0}&1&1\\\color{red}{0}&\color{red}{0}&1\end{bmatrix}}$

3.2 下三角型矩陣

主對角線以上元素全爲零的矩陣。
例如：$\bcancel{\begin{bmatrix}1&\color{red}{0}&\color{red}{0}\\2&3&\color{red}{0}\\4&5&6\end{bmatrix}}$

上三角型矩陣和下三角型矩陣統稱爲三角型矩陣。

顯然，對角型矩陣即是上三角型矩陣也是下三角型矩陣。

數和上三角型矩陣或下三角型矩陣的乘積，以及上三角型矩陣和下三角型矩陣的和、減、積均是上三角型矩陣或下三角型矩陣。

4 對稱矩陣

對稱矩陣和對稱行列式的定義類似，即以主對角線爲軸，上下元素對應相等的矩陣。
例如：$\bcancel{\begin{bmatrix}1&1&-1\\1&2&4\\-1&4&3\end{bmatrix}}$

所以：$a_{ij}=a_{ji}$。

對稱矩陣重要結論：$\color{red}{A^T=A}$，幾乎所有對稱矩陣題目都要用到些等式。

顯然，兩個同階對稱矩陣的和、差和數乘仍然是對稱矩陣，但是兩個對稱矩陣的乘積一般不再是對稱矩陣。

驗證：
假設矩陣$A$和矩陣$B$是兩個同階對稱矩陣，那麼：$A^T=A$，$B^T=B$。
① 對稱矩陣的和：
$(A+B)^T=A^T+B^T=A+B$

② 對稱矩陣的差：
$(A-B)^T=A^T-B^T=A-B$

③ 對稱矩陣的數乘：
$(kA)^T=kA^T=kA$

④ 對稱矩陣相乘：
$(AB)^T=B^TA^T=BA{\neq}AB$

定理1：如果$A$、$B$是兩個同階對稱矩陣，$AB$仍然是對稱矩陣${\Leftrightarrow}A$和$B$可交換。

充分性：$(AB)^T=B^TA^T=BA=AB$；
必要性：$A$和$B$可交換，則$AB=BA$，故$(AB)^T=AB$，所以$AB$就是對稱矩陣。

例2：已知$A$是一個$m×n$的普通矩陣，證明：$AA^T$與$A^TA$都是對稱矩陣。

證明：
① 因爲$(AA^T)^T=(A^T)^TA^T=AA^T$，所以$AA^T$是對稱矩陣；
② 因爲$(A^TA)^T=A^T(A^T)^T=A^TA$，所以$A^TA$是對稱矩陣。

練習：$A$、$B$均是$n$階矩陣，並且$A$是對稱矩陣，證明$B^TAB$也是對稱矩陣。
證明：因爲$(B^TAB)^T=B^TA^T(B^T)^T=B^TA^TB$，
又因爲$A$是對稱矩陣，所以$B^TA^TB=B^TAB$，
即$(B^TAB)^T=B^TAB$，
所以$B^TAB$是對稱矩陣。

5 反對稱矩陣

反對稱矩陣也和反對稱行列式的定義類似，即以主對角線爲軸，上下元素對應成相反數的矩陣。
例如：$\bcancel{\begin{bmatrix}0&1&-3\\-1&0&-4\\3&4&0\end{bmatrix}}$

所以：$a_{ij}=-a_{ji}$，對於主對角線上的元素：$a_{ii}=-a_{ii}$，所以$a_{ii}=0$，即反對稱矩陣主對角線上元素全爲零（對稱矩陣主對角線上元素沒有要求）。

反對稱矩陣重要結論：$\color{red}{A^T=-A}$，只要證明是反對稱矩陣，一般都要使用些公式。

顯然，與對稱矩陣類似，兩個同階反對稱矩陣的和、差、數乘仍然是反對稱矩陣，但兩個反對稱矩陣的乘積一般不再是反對稱矩陣。

6 引用

《線性代數》高清教學視頻 “驚歎號”系列 宋浩老師_嗶哩嗶哩 (゜-゜)つロ 乾杯~-bilibili_2.3 特殊矩陣