線性代數學習筆記（三）——行列式的性質

本篇文章首先引入行列式轉置的概念，然後逐一給出了行列式的七個基本性質，需要注意的是：對行成立的性質對列也同樣成立。最後強調了性質7的重要性，並總結了在做題過程中的規範和注意事項。

1 轉置

將行列式的行做成列，轉置記作：$D^T$或$D^’$（T表示Transformers）。
$D=\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 1&1&1\\ 8&8&8\\ \end{vmatrix}$

$D^T=\begin{vmatrix} 1&1&8\\ 2&1&8\\ 3&1&8\\ \end{vmatrix}$

對行列式轉置之後再轉置等於原行列式，即$(D^T)^T=D$。可以發現，對行列式求$2n(n≥1)$次轉置仍然等原行列式。

2 性質

2.1 性質1

行列式轉置，值不變，即$D^T=D$（對行成立的性質對列也成立）。

舉例：
$D=\begin{vmatrix} ①&2&3&4\\ 1&1&1&⑥\\ 2&⑧&8&8\\ 9&9&⑨&3\\ \end{vmatrix}$

行列式$D$中$①⑥⑧⑨$項的行標爲4級標準排列$1234$，列標排列爲$1423$，所以爲該項使用第一種定義展開：$(-1)^{N(1432)}1×6×8×9$。

$D^T=\begin{vmatrix} ①&1&2&9\\ 2&1&⑧&9\\ 3&1&8&⑨\\ 4&⑥&8&3\\ \end{vmatrix}$

轉置行列式$D^T$中$①⑥⑧⑨$項的行標排列爲$1423$，列爲4級標準排列$1234$，所以爲該項使用第二種定義展開：$(-1)^{N(1432)}1×6×8×9$。

不難發現，行列式$D$和其轉置行列式$D^T$中的$①⑥⑧⑨$項的值相同，可以推出，其他各項值也會完全相同，故$D^T=D$。

2.2 性質2

行列式兩行互換，值變號。

舉例（交換行列式$D_1$中的1、3行變成行列式$D_2$）：
$D_1=\begin{vmatrix} 1&②&3&4\\ 5&6&⑦&8\\ 9&10&11&⑫\\ ⑬&14&15&16\\ \end{vmatrix}$

行列式$D_1$中$②⑦⑫⑬$項的行標排列爲4級標準排列$1234$，列標爲$2341$，所以爲該項使用第一種定義展開：$(-1)^{N(2341)}2×7×12×13$。

$D_2=\begin{vmatrix} 9&10&11&⑫\\ 5&6&⑦&8\\ 1&②&3&4\\ ⑬&14&15&16\\ \end{vmatrix}$

行列式$D_2$中$②⑦⑫⑬$項的行標排列爲$3214$，列標排列爲$2341$，所以爲該項使用第三種定義展開：$(-1)^{N(3214)+N(2341)}2×7×12×13$。

不難發現，行列式$D_1$和行列式$D_2$對於$②⑦⑫⑬$項差一個$(-1)^{N(3214)}$因數，而$N(3214)=2+1+0+0=3$是一個奇排列，故該項相差一個負號，同理可以推出，其他各項也相差一個負號，所以$D_1=-D_2$。

2.3 性質3

行列式兩行（或兩列）對應相等，行列式等於零。

舉例（交換行列式$D_1$中的1、3行變成行列式$D_2$）：
$D_1=\begin{vmatrix} ②&③&④&⑤\\ 1&0&0&0\\ (2)&(3)&(4)&(5)\\ 8&8&8&1\\ \end{vmatrix}$

$D_2=\begin{vmatrix} (2)&(3)&(4)&(5)\\ 1&0&0&0\\ ②&③&④&⑤\\ 8&8&8&1\\ \end{vmatrix}$

由於行列式第1行和第3行相等，所以交換之後仍然和原行列式完全一樣，即：$D_1=D_2$，但根據性質2可知：$D_1=-D_2$，所以：$D_1=-D_1$，推出：$2D_1=0$，即：$D_1=0$。

2.4 性質4

行列式$D$某一行（或列）元素都乘以數$k$，等於用$k$乘以行列式$D$。

$\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 4k&5k&6k\\ 7&8&9\\ \end{vmatrix}=k\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9\\ \end{vmatrix}$

推論：
行列式某一行（或列）都有公因子$k$，則$k$可以提到外面去。

注意：如果$n$階行列式所有元素均有公因子$k$，則可以提$k^n$到外面去。

$\begin{vmatrix} 1k&2k&3k\\ 4k&5k&6k\\ 7k&8k&9k\\ \end{vmatrix}=k^3\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9\\ \end{vmatrix}$

2.5 性質5

行列式兩行（或兩列）對應成比例，行列式等於零。

$D=\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 1&1&1\\ 8&8&8\\ \end{vmatrix}$

上述行列式第3行是第2行的8倍，即：

$\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 1&1&1\\ 1×8&1×8&1×8\\ \end{vmatrix}=8\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 1&1&1\\ 1&1&1\\ \end{vmatrix}$

根據性質3可知，行列式兩行對應相等，行列式的值爲零。

推論：
行列式某一行（或列）全爲0，則行列式等於零。

$\begin{vmatrix} x&x&x\\ 0&0&0\\ x&x&x\\ \end{vmatrix}=0$

1、可以根據性質4推論進行理解，即提取公因子0，則0提到外面後乘以行列式肯定等於0；
2、還可以根據行列式展開的定義來理解，展開項不同行不同列取到的元素肯定會包含0，所以行列式必然等於零。

性質3可以理解爲性質5的特例，即兩行（列）對應相等可以看成比例爲1。

通過以上幾個性質可知：
① 行列式兩行（列）對應成比例；
② 行列式兩行（列）相等；
③ 行列式某行全爲0。
可以推出行列式等於零。

那麼反過來，如果行列式等於0，是否上述三個條件必有一個成立呢？
答案是否定的。

$\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9\\ \end{vmatrix}=0$

後面通過性質7可以驗證。

2.6 性質6

行列式某行（列）如果是兩個數之和，則此行列式可以表示兩個行列式相加。

$\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 7+8&2+3&9+10\\ 7&8&9\\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 7&2&9\\ 7&8&9\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 8&3&10\\ 7&8&9\\ \end{vmatrix}$

舉例：
$\begin{vmatrix} b+c&c+a&a+b\\ a+b&b+c&c+a\\ c+a&a+b&b+c\\ \end{vmatrix}$

解：原式$=\begin{vmatrix} b&c&a\\ a+b&b+c&c+a\\ c+a&a+b&b+c\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c&a&b\\ a+b&b+c&c+a\\ c+a&a+b&b+c\\ \end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix} b&c&a\\ a&b&c\\ c+a&a+b&b+c\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} b&c&a\\ b&c&a\\ c+a&a+b&b+c\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c&a&b\\ a&b&c\\ c+a&a+b&b+c\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c&a&b\\ b&c&a\\ c+a&a+b&b+c\\ \end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix} b&c&a\\ a&b&c\\ c&a&b\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} b&c&a\\ a&b&c\\ a&b&c\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} b&c&a\\ b&c&a\\ c&a&b\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} b&c&a\\ b&c&a\\ a&b&c\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c&a&b\\ a&b&c\\ c&a&b\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c&a&b\\ a&b&c\\ a&b&c\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c&a&b\\ b&c&a\\ c&a&b\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c&a&b\\ b&c&a\\ a&b&c\\ \end{vmatrix}$

★★★ 2.7 性質7

行列式某一行（列）的所有元素，乘以數$k$加到另一行（列）上去，行列式的值爲變。

舉例：
$\begin{vmatrix} ①&②&③\\ 1&1&0\\ 9&9&10\\ \end{vmatrix}$

將第1行乘以5加到第2行：

$\begin{vmatrix} ①&②&③\\ 1+①×(5)&1+②×(5)&0+③×(5)\\ 9&9&10\\ \end{vmatrix}$

根據性質6可知，上述行列式可以寫成以下兩個行列式相加：

$\begin{vmatrix} ①&②&③\\ 1&1&0\\ 9&9&10\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} ①&②&③\\ ①×(5)&②×(5)&③×(5)\\ 9&9&10\\ \end{vmatrix}$

又根據性質5可知，上述第二個行列式第1行和第2行成比例值爲零。而第一個行列式就是原來的行列式，所以原行列式的值爲變。

例1：求行列式$D=\begin{vmatrix} 1&2&0&1\\ 2&3&10&0\\ 0&3&5&18\\ 5&10&15&4\\ \end{vmatrix}$的值。

思路：將行列式通過性質7化爲上三角形式，主對角線元素乘積即爲行列式的值。
解：第1行元素×(-2)加到第2行上去：
$=\begin{vmatrix} 1&2&0&1\\ 2+1×(-2)&3+2×(-2)&10+0×(-2)&0+1×(-2)\\ 0&3&5&18\\ 5&10&15&4\\ \end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix} 1&2&0&1\\ 0&-1&10&-2\\ 0&3&5&18\\ 5&10&15&4\\ \end{vmatrix}$

第1行元素×(-5)加到第4行上去：
$=\begin{vmatrix} 1&2&0&1\\ 0&-1&10&-2\\ 0&3&5&18\\ 5+1×(-5)&10+2×(-5)&15+0×(-2)&4+1×(-5)\\ \end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix} 1&2&0&1\\ 0&-1&10&-2\\ 0&3&5&18\\ 0&0&15&-1\\ \end{vmatrix}$

第2行元素×3加到第3行上去：
$=\begin{vmatrix} 1&2&0&1\\ 0&-1&10&-2\\ 0+0×3&3+(-1)×3&5+10×3&18+(-2)×3\\ 0&0&15&-1\\ \end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix} 1&2&0&1\\ 0&-1&10&-2\\ 0&0&35&12\\ 0&0&15&-1\\ \end{vmatrix}$

第4列元素×15加到第3列上去：
$=\begin{vmatrix} 1&2&0+1×15&1\\ 0&-1&10+(-2)×15&-2\\ 0&0&35+12×15&12\\ 0&0&15+(-1)×15&-1\\ \end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix} 1&2&15&1\\ 0&-1&-20&-2\\ 0&0&215&12\\ 0&0&0&-1\\ \end{vmatrix}\\ =1×(-1)×215×(-1)\\ =215$

例2：求行列式$D=\begin{vmatrix} 8&2&0&1\\ 1&3&10&0\\ 9&3&5&18\\ 3&10&15&4\\ \end{vmatrix}$的值。

分析：如果按照例1的思路，需要使用第1行依次將2、3、4行的左下角元素變爲0，即：第1行元素$×(-\frac18)$加到第2行，第1行元素$×(-\frac98)$加到第3行，第1行元素$×(-\frac38)$加到第4行等，但分數計算時非常複雜，而且容易出錯，不推薦此類方法。此題可以先交換第1列和第2行（注意交換兩行行列式要變號），再用交換後左上角的$1$去將其他行左下角元素變爲0。

做題規範：
① 時統一化爲上三角形式（因爲下三角轉置後就是上三角）；
② 先處理第1列，再第2列，依次處理第n列；
③ 第1列處理完後，第1行不再參與後續運算，後續同理；
④ 可以說：“第$m$行$×k$加到第$n$行上去”或“第$m$行加到和$n$行上去”，不能說：“第$m$行減去第$n$行”。

3 引用

《線性代數》高清教學視頻 “驚歎號”系列 宋浩老師_嗶哩嗶哩 (゜-゜)つロ 乾杯~-bilibili_1.2 行列式的性質