線性代數學習筆記（九）——矩陣運算（一）

本篇筆記記錄了矩陣的加法和減法、矩陣的數乘和矩陣的乘法運算。需要注意矩陣的加法和減法必須要同型矩陣纔行運算；矩陣的數乘是將某數乘以矩陣中的所有元素，與行列式不同，矩陣所有元素均有公因子$k$，該公因子只向外提$1$次，而非行列式的提$n$次；矩陣的乘法規則與行列式類似，但有左乘和右乘之分，需要注意矩陣的左右順序；如果兩個矩陣左乘和右乘的結果相等，那麼稱這兩個矩陣是可交換的，並進一步討論了矩陣可交換的條件。

1 矩陣的加法和減法

1.1 矩陣的加法

對應元素相加。
例如：
$\begin{bmatrix} 1&1&1\\ 1&1&1\\ \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0&2&3\\ -1&1&1\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&3&4\\ 0&2&2\\ \end{bmatrix}$

顯示，只有同型矩陣才能相加。

1.2 矩陣的減法

對應元素相減。
例如：
$\begin{bmatrix} 1&2&3\\ 3&3&3\\ 4&4&4\\ \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&0&1\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&2&2\\ 3&3&2\\ 4&4&4\\ \end{bmatrix}$

同理，也只有同型矩陣才能做減法。

1.3 五條運算律

① $A+B=B+A$
② $(A+B)+C=A+(B+C)$
③ $A+O=A$
④ $A+(-A)=O$
⑤ $A+B=C \iff A=C-B$

上述矩陣$A、B、C和O$在運算時必須爲同型矩陣。

2 矩陣的數乘

2.1 數乘的定義

用一個數乘以矩陣等於這個數乘以矩陣的所有元素。
例如：
$k\begin{bmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1k&2k&3k\\ 4k&5k&6k\\ 7k&8k&9k\\ \end{bmatrix}$

矩陣所有元素均有公因子$k$，這個公因子向外提1次（與行列式不同，行列式一行或列有公因子提一次，所有元素均有公因子提$n$次）。

2.2 三條運算法則

① $k(A+B)=kA+kB$
② $(k+l)A=kA+lA$
③ $kl(A)=(kl)A$

$k、l$爲兩個數，$A、B$爲同型矩陣。

例2：
已知$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\3&3&3\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}0&2&6\\2&0&4\end{bmatrix}$，求$3A-\frac12B$的值。

解：$3A-\frac12B$

$=3\begin{bmatrix}1&2&3\\3&3&3\end{bmatrix}-\frac12\begin{bmatrix}0&2&6\\2&0&4\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix}3&6&9\\9&9&9\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0&1&3\\1&0&2\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix}3&5&6\\8&9&7\end{bmatrix}$

3 矩陣的乘法

3.1 矩陣相乘規則

矩陣的乘法與行列式的乘法類似。
例如：
$\begin{bmatrix}2&1&0\\1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&1&1\end{bmatrix}$

① 用第一個矩陣的第1行乘以第二個矩陣的第1列，即對應元素相乘再相加，放在結果矩陣的第1行第1列；
$\begin{bmatrix}\color{red}{2}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\color{red}{1}&0&1\\\color{red}{0}&1&1\\\color{red}{0}&1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\color{red}{2×1+1×0+0×0}&{\cdots}\\{\vdots}&{\ddots}\end{bmatrix}$

② 用第一個矩陣的第1行乘以第二個矩陣的第2列，即對應元素相乘再相加，放在結果矩陣的第1行第2列；
$\begin{bmatrix}\color{red}{2}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&\color{red}{0}&1\\0&\color{red}{1}&1\\0&\color{red}{1}&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&\color{red}{2×0+1×1+0×1}&{\cdots}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}\end{bmatrix}$

③ 用第一個矩陣的第1行乘以第二個矩陣的第3列，即對應元素相乘再相加，放在結果矩陣的第1行第3列；
$\begin{bmatrix}\color{red}{2}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&\color{red}{1}\\0&1&\color{red}{1}\\0&1&\color{red}{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&1&\color{red}{2×1+1×1+0×1}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}\end{bmatrix}$

④ 同理，依次用第一個矩陣的第1行乘以第二個矩陣的第1列、第2列和第3列，分別入在結果矩陣的第1列、第2列和第3列。
$\begin{bmatrix}2&1&0\\\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&1&3\\1&1&2\end{bmatrix}$

3.2 矩陣相乘的前提

$\begin{bmatrix}2&1&0\\1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&1&1\\1&1&3\end{bmatrix}$

上述第一個矩陣第一行有3個元素，第二個矩陣第一列有4個元素，元素之間沒有辦法相互對應，所以兩個矩陣不能相乘。

矩陣相乘前提：第一個矩陣的列數 $=$ 第二個矩陣的行數。
結果矩陣形狀：結果矩陣的行數 $=$ 第一個矩陣的行數，結果矩陣的列數 $=$ 第二個矩陣的列數。

矩陣$A_{5×3}$和矩陣$B_{4×2}$不能相乘，因爲矩陣$A$的列數$3$不等於矩陣$B$的行數$4$。

宋氏七字口訣：$\color{red}{中間相等，取兩頭}$。

例如：$A_{3×4}B_{4×5}=C_{3×5}$

舉例：
$A_{5×3}B_{4×3}$不能相乘；
$A_{5×4}E_{4×4}$可以相乘，結果爲$B_{5×4}$；
$F_{s×t}E_{t×h}$可以相乘，結果爲$D_{s×h}$；

例3：
$\begin{bmatrix}-1&1&5\\4&3&-2\end{bmatrix}_{2×3}\begin{bmatrix}1&-1\\0&2\\-3&6\end{bmatrix}_{3×2}$

$=\begin{bmatrix}-1×1+1×0+5×(-3)&-1×(-1)+1×2+5×6\\4×1+3×0+(-2)×(-3)&4×(-1)+3×2+(-2)×6\end{bmatrix}_{2×2}$

$=\begin{bmatrix}-16&33\\10&-10\end{bmatrix}_{2×2}$

如果交換上述兩個矩陣的位置：
$\begin{bmatrix}1&-1\\0&2\\-3&6\end{bmatrix}_{3×2}\begin{bmatrix}-1&1&5\\4&3&-2\end{bmatrix}_{2×3}$

$=\begin{bmatrix}1×(-1)+(-1)×4&1×1+(-1)×3&1×5+(-1)×(-2)\\0×(-1)+2×4&0×1+2×3&0×5+2×(-2)\\-3×(-1)+6×4&-3×1+6×3&-3×5+6×(-2)\end{bmatrix}_{3×3}$

$=\begin{bmatrix}-5&-2&7\\8&6&-4\\27&15&-27\end{bmatrix}_{3×3}$

如果$A=\begin{bmatrix}-1&1&5\\4&3&-2\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}1&-1\\0&2\\-3&6\end{bmatrix}$
則$AB=\begin{bmatrix}-16&33\\10&-10\end{bmatrix}$，$BA=\begin{bmatrix}-5&-2&7\\8&6&-4\\27&15&-27\end{bmatrix}$

我們發現，$AB≠BA$。而且比如$A_{5×2}B_{2×3}$可以相乘，而$B_{2×3}A_{5×2}$不能相乘，所以$AB$有意義，但$BA$不一定有意義。

一般情況下，$AB≠BA$，如果$AB=BA$，那麼稱$A$、$B$是可交換的。

3.3 矩陣左乘和右乘的定義

如果$AB$，則稱$A$左乘$B$，$B$右乘$A$。

例5：
若矩陣$A=\begin{bmatrix}2&0\\-1&0\end{bmatrix}$、矩陣$B=\begin{bmatrix}0&0\\1&3\end{bmatrix}$、矩陣$C=\begin{bmatrix}0&0\\2&4\end{bmatrix}$，求$AB$、$AC$。

解：$AB=\begin{bmatrix}2×0+0×1&2×0+0×3\\-1×0+0×1&-1×0+0×3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}$

$AC=\begin{bmatrix}2×0+0×2&2×0+0×4\\-1×0+0×2&-1×0+0×4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}$

不難發現：$AB=AC$。

矩陣乘法不滿足的三條規律：
① 多數情況下，$AB{\neq}BA$；
② $AB=0\quad{\nRightarrow}{\quad}A=0或B=0$；
③ $AB=AC，A≠0\quad{\nRightarrow}{\quad}B=C$。

3.4 特殊矩陣相乘

① 任何矩陣與零矩陣相乘都等於零矩陣。
$A_{4×3}O_{3×2}=O_{4×2}$

② 任何矩陣與單位矩陣相乘都不變。
$AE=A，EB=B$

舉例：
$\begin{bmatrix}3&3&3\\4&1&1\\5&9&9\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix}3×1+3×0+3×0&3×0+3×1+3×0&3×0+3×0+3×1\\4×1+1×0+1×0&4×0+1×1+1×0&4×0+1×0+1×1\\5×1+9×0+9×0&5×0+9×1+9×0&5×0+9×0+9×1\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix}3&3&3\\4&1&1\\5&9&9\end{bmatrix}$

3.5 三條矩陣乘法運算規律

① 結合律，$(AB)C=A(BC)$

② 分配律，$(A+B)C=AC+BC，C(A+B)=CA+CB$

③ $k(AB)=(kA)B=A(kB)$

以上三條規律，注意$A$、$B$的順序，不管是結合、分配還是數乘之後，$A$、$B$的左右順序沒有發生變化。例如：$\xcancel{(A+B)C=CA+CB}$是不正確的，因爲矩陣$C$原來在右邊，分配進去之後到了左邊。

3.6 矩陣可交換的條件

例6：
求與$A=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}$可交換的所有矩陣。

解：因爲$A$爲2×2的矩陣，設與其可交換的矩陣爲$B$，則$B$也必定爲2×2的矩陣。
設：$B=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$，則$AB=BA$。

即：$\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}$

故：$\begin{bmatrix}a&b\\a+c&b+d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a+b&b\\c+d&d\end{bmatrix}$

矩陣相等則左右兩邊爲同型矩陣，且對應元素相等，所以：
$\begin{cases} a=a+b\\ b=b\\ a+c=c+d\\ b+d=d\\ \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} a=a\\ b=0\\ c=c\\ d=a\\ \end{cases}$

得到：$B=\begin{bmatrix}a&0\\c&a\end{bmatrix}$
其中$a$、$c$爲任意常數。

思考：
求與$A=\begin{bmatrix}1&0&1\\1&1&1\end{bmatrix}$可交換的所有矩陣。

解：因爲$A$爲2×3的矩陣，設與其可交換的矩陣爲$B$，則$B$也必定爲3×2的矩陣。
設：$B=\begin{bmatrix}a&b\\d&e\\m&n\end{bmatrix}$，則：
$A_{2×3}B_{3×2}=M_{2×2}$
$B_{3×2}A_{2×3}=N_{3×3}$

由於$M$爲2×2的矩陣，$N$爲3×3的矩陣，所以$AB$和$BA$不可能相等。

所以：一個矩陣可交換，則該矩陣和其所有交換矩陣必須都是同階方陣。
即：$A_nB_n=B_nA_n$

3.7 變量間的線性替換

例7：
$\begin{cases} x_1=y_1-y_2\\ x_2=y_1+y_2\\ \end{cases}{\qquad}①$

$\begin{cases} y_1=z_1+z_2+2z_3\\ y_2=z_1-2z_2+z_3\\ \end{cases}{\qquad}②$

$\begin{cases} z_1=u_1+u_2\\ z_2=u_1\\ z_3=-u_1+u_2\\ \end{cases}{\qquad}③$

解：分別將①式、②式和③式改寫成矩陣相乘的形式，得：
$\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\y_2\end{bmatrix}{\qquad}④$

$\begin{bmatrix}y_1\\y_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1&2\\1&-2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}z_1\\z_2\\z_3\end{bmatrix}{\qquad}⑤$

$\begin{bmatrix}z_1\\z_2\\z_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\-1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_1\\u_2\end{bmatrix}{\qquad}⑥$

將⑥式代入⑤式，再代入④式得：
$\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1&2\\1&-2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\-1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_1\\u_2\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix}0&3&1\\2&-1&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\-1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_1\\u_2\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix}2&1\\-2&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_1\\u_2\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix}2u_1+u_2\\-2u_2+5u_2\end{bmatrix}$

所以：
$\begin{cases} x_1=2u_1+u_2\\ x_2=-2u_2+5u_2\\ \end{cases}$

4 引用

《線性代數》高清教學視頻 “驚歎號”系列 宋浩老師_嗶哩嗶哩 (゜-゜)つロ 乾杯~-bilibili_2.2 矩陣運算（一）