線性代數學習筆記（十）——矩陣運算（二）

本篇筆記講解矩陣的冪運算和矩陣的轉置，其中矩陣進行冪運算的前提是矩陣爲方陣，矩陣冪運算的兩條性質與數的冪運算規則類似；矩陣轉置的定義與行列式轉置類似，但要注意由於矩陣的行數和列數不同，所以轉置之後行數和列數變換。

1 矩陣的冪

1.1 矩陣冪的定義

如果$A$是方陣，矩陣的冪定義如下：
$A^k=\underbrace{AA...A}_k$

特別地：我們規定：$A^0=E$。

兩條性質：
① $A^{k_1}A^{k_2}=A^{k_1+k_2}$
驗證：$A^{k_1}A^{k_2}=\underbrace{AA...A}_{k_1}\underbrace{AA...A}_{k_2}=A^{k_1+k_2}$

② $(A^{k_1})^{k_2}=A^{k_1k_2}$
驗證：$(A^{k_1})^{k_2}=\underbrace{A^{k_1}A^{k_1}...A^{k_1}}_{k_2}=\underbrace{\underbrace{AA...A}_{k_1}\underbrace{AA...A}_{k_1}...\underbrace{AA...A}_{k_1}}_{k_2}=A^{k_1k_2}$

因爲矩陣相乘不滿足交換律，一般情況下：
$(AB)^k{\neq}A^kB^k$

舉例：
$(AB)^2{\neq}A^2B^2$
因爲：$(AB)^2=ABAB$
而：$A^2B^2=AABB$
很顯然：中間的$AB$一般是$≠BA$的。

思考1：
$(A+B)^2$與$A^2+2AB+B^2$是否相等？
答案是否定的。
因爲：$(A+B)^2=(A+B)(A+B)$，根據矩陣相乘的分配律：
$=(A+B)A+(A+B)B$
$=A^2+BA+AB+B^2$

很顯然：$2AB$一般與$BA+AB$是不相等的。
所以，同樣的，$(A-B)^2$與$A^2-2AB+B^2$一般也是不相等的。

思考2：
$(A+E)^2$與$A^2+2AE+E^2$是否相等？
答案是肯定的。
因爲：$(A+E)^2=(A+E)(A+E)$，根據矩陣相乘的分配律：
$=(A+E)A+(A+E)E$
$=A^2+EA+AE+E^2$
又因爲：$EA=A，AE=A$
所以：$=A^2+2A+E^2$
故：$(A+E)^2=A^2+2AE+E^2$
注意$E^2$就等於$E$，$E^n$也等於$E$。

同樣的，$(A-E)^2$與$A^2-2AE+E^2$一般也是相等的。

1.2 矩陣相乘練習

該部分內容請參考上一篇博客線性代數學習筆記（九）——矩陣運算（一）

例8：已知矩陣$A=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$，矩陣$B=\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}$，求$AB$、$BA$、$(AB)^2$和$(AB)^{10}$。

解：
① $AB=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}_{3×1}\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}_{1×3}$

$=\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&3\\1&2&3\end{bmatrix}_{3×3}$

② 同理：$BA=\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}_{1×3}\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}_{3×1}=6$

③ $(AB)^2=ABAB$
$=\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&3\\1&2&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&3\\1&2&3\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix}6&12&18\\6&12&18\\6&12&18\end{bmatrix}$

另外一種思路：
$(AB)^2=A\underline{BA}B$
先計算中間的$BA$，由②可知其值爲6，則原式：
$=6AB$
$=6\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&3\\1&2&3\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix}6&12&18\\6&12&18\\6&12&18\end{bmatrix}$

④ $(AB)^{10}=A\underbrace{\underline{BA}\underline{BA}...\underline{BA}}_9B$
$=6^9AB$
$=6^9\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&3\\1&2&3\end{bmatrix}$

注意：一般求矩陣高次冪的運算都是通過一定技巧化簡的。

例9：略

2 矩陣的轉置

2.1 矩陣轉置的定義

矩陣的轉置和行列式的轉置類似，即將原來的行做成列，將原來的列做成行。

$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\1&1&1\end{bmatrix}_{2×3}$
$A^T=\begin{bmatrix}1&1\\2&1\\3&1\end{bmatrix}_{3×2}$

與行列式一樣，$A$的轉置表示爲$A^T$或$A^’$。
如果$A$爲$m×n$的矩陣，則$A^T$爲$n×m$的矩陣。

$(A^T)^T=\begin{bmatrix}1&2&3\\1&1&1\end{bmatrix}_{2×3}$

2.2 矩陣轉置的性質

★ ① $(A^T)^T=A$
② $(A+B)^T=A^T+B^T$
③ $(kA)^T=kA^T$
★ ④ $(AB)^T=B^TA^T$

注意：不是$(AB)^T=A^TB^T$，例如$A_{3×2}$、$B_{2×5}$，那麼$A^T_{2×3}$和$B^T_{5×2}$中間不等，所以不能相乘；而$B^T_{5×2}$和$A^T_{2×3}$中間相等，可以相乘。

性質④推廣：$(A_1A_2A_3A_4)^T=A_4^TA_3^TA_2^TA_1^T$
同樣，性質②也有類似推廣：$(A+B+C)^T=A^T+B^T+C^T$

3 引用

《線性代數》高清教學視頻 “驚歎號”系列 宋浩老師_嗶哩嗶哩 (゜-゜)つロ 乾杯~-bilibili_2.2 矩陣運算（二）