線性代數學習筆記（十二）——逆矩陣（一）

本篇筆記首先回顧了矩陣的運算，並通過數的除法討論逆矩陣的引入部分，需要注意：$\color{red}{永遠不要把矩陣放到分母上！}$所以矩陣不存在除法的說法；然後通過矩陣的屬性討論了方陣的行列式，以及方陣行列式的三條性質；最後重點介紹了方陣的伴隨矩陣，包括伴隨矩陣的求法，以及伴隨矩陣相關的定理和推論。

1 矩陣運算回顧

前面在介紹矩陣的運算時，已經學習過了矩陣的加法、矩陣的減法、矩陣的數乘以及矩陣的乘法，那矩陣是否有除法運算呢？“矩陣的除法”就是下一篇博客要介紹的逆矩陣，其實矩陣只有逆矩陣，並沒有除法的說法。

比如對於數來說：$2×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}×2=1$，
那麼能否找到矩陣$A$和矩陣$B$，使得：$A×B=B×A=E$。

是否是$B=\frac{1}{A}$呢？因爲：$\bcancel{A}×\frac{1}{\bcancel{A}}=\frac{1}{\bcancel{A}}×\bcancel{A}=E$。

以上做法是錯誤的！$\color{red}{永遠不要把矩陣放到分母上}$。

2 方陣的行列式

將給定方陣的元素作爲行列式的元素就叫方陣的行列式。

例如：方陣$A=\begin{bmatrix}2&2&2\\3&3&3\\1&1&1\end{bmatrix}$，則其行列式記作：$|A|$，故$|A|=\begin{vmatrix}2&2&2\\3&3&3\\1&1&1\end{vmatrix}$。

不難發現，上述$|A|=0$，我們知道，行列式表示一個數，而矩陣表示一個數表，那麼求矩陣的行列式是什麼意思呢？其實矩陣具有很多的屬性，方陣的行列式是方陣其中的一個屬性，其他屬性例如：

矩陣$\begin{cases} 特徵值\\ 特徵向量\\ 行列式\\ ...\\ \end{cases}$

3 方陣行列式的性質

① $\color{red}{|A^T|=|A|}$
原因：行列式性質第一條，行列式轉置值不變。

★ ② $\color{red}{|kA|=k^n|A|}$
原因：矩陣所有元素有公因子向外提$1$次，行列式所有元素的公因子向外提$n$次。

例如：$A=\begin{bmatrix}1&1&1\\2&2&2\\3&3&3\end{bmatrix}$

$kA=\begin{bmatrix}k&k&k\\2k&2k&2k\\3k&3k&3k\end{bmatrix}$

$|kA|=\begin{vmatrix}k&k&k\\2k&2k&2k\\3k&3k&3k\end{vmatrix}$

$|kA|=k^3\begin{vmatrix}1&1&1\\2&2&2\\3&3&3\end{vmatrix}=k^3|A|$

③ $\color{red}{|AB|=|A||B|}$
行列式的乘法定理，前提條件：$A$、$B$爲同階，可以推廣到多個方陣相乘的情況，如$|ABC|=|A||B||C|$。

例1：已知$A$爲$5$階方陣，並且$|A|=3$，求$|-A|$、$|2A^T|$、$|||A|A|$和$||||A|A|A|A|$。

(1) $|-A|=(-1)^5|A|=-1×3=-3$；

(2) $|2A^T|=2^5|A^T|=2^5|A|=2^5×3=96$；

(3) $||A|A|=|3A|=3^5|3|=3^5×3=3^6$；

(4) $||||A|A|A|A|$
$=|||3A|A|A|$
$=||3^5|A|A|A|$
$=||3^5×3A|A|$
$=||3^6A|A|$
$=|(3^6)^5|A|A|$
$=|3^{30}|A|A|$
$=|3^{30}×3A|$
$=|3^{31}A|$
$=(3^{31})^5|A|$
$=3^{155}|A|$
$=3^{155}×3$
$=3^{156}$

4 伴隨矩陣

只有方陣纔有伴隨矩陣。

定義：假設$n$階方陣$A$，$A_{ij}$是其元素$a_{ij}$的代數餘子式，那麼矩陣$A$的伴隨矩陣：
$A^*=\begin{bmatrix} A_{11}&A_{21}&{\cdots}&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&{\cdots}&A_{n2}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ A_{1n}&A_{2n}&{\cdots}&A_{nn}\\ \end{bmatrix}$。

矩陣$A$的伴隨矩陣記作$A^*$。

例2：矩陣$A=\begin{bmatrix}1&1&1\\2&1&3\\1&1&4\end{bmatrix}$

① 第一步：分別求所有元素的代數餘子式
$A_{11}=(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}1&3\\1&4\end{vmatrix}=1$
$A_{12}=(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}2&3\\1&4\end{vmatrix}=-5$
$A_{13}=(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}2&1\\1&1\end{vmatrix}=1$
$A_{21}=(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}1&1\\1&4\end{vmatrix}=-3$
$A_{22}=(-1)^{2+2}\begin{vmatrix}1&1\\1&4\end{vmatrix}=3$
$A_{23}=(-1)^{2+3}\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}=0$
$A_{31}=(-1)^{3+1}\begin{vmatrix}1&1\\1&3\end{vmatrix}=2$
$A_{32}=(-1)^{3+2}\begin{vmatrix}1&1\\2&3\end{vmatrix}=-1$
$A_{33}=(-1)^{3+3}\begin{vmatrix}1&1\\2&1\end{vmatrix}=-1$

② 第二步：按行求的代數餘子式按列放構成矩陣
$A^*=\begin{bmatrix}1&-3&2\\-5&3&-1\\1&0&-1\end{bmatrix}$

求伴隨矩陣的口訣：$\color{red}{按行求，按列放}$。

定理2.4.1：對於任意方陣$A$，有：$\color{red}{AA^*=A^*A=|A|E}$。

證明：
① $AA^*=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&{\cdots}&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&{\cdots}&a_{2n}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ a_{n1}&a_{n2}&{\cdots}&a_{nn}\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A_{11}&A_{21}&{\cdots}&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&{\cdots}&A_{n2}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ A_{1n}&A_{2n}&{\cdots}&A_{nn}\\ \end{bmatrix}$

根據矩陣的乘法得：
$=\begin{bmatrix} a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+...+a_{1n}A_{1n}&a_{11}A_{21}+a_{12}A_{22}+...+a_{1n}A_{2n}&{\cdots}&a_{11}A_{n1}+a_{12}A_{n2}+...+a_{1n}A_{nn}\\ a_{21}A_{11}+a_{22}A_{12}+...+a_{2n}A_{1n}&a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}+...+a_{2n}A_{2n}&{\cdots}&a_{21}A_{n1}+a_{22}A_{n2}+...+a_{2n}A_{nn}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ a_{n1}A_{11}+a_{n2}A_{12}+...+a_{nn}A_{1n}&a_{n1}A_{21}+a_{n2}A_{22}+...+a_{nn}A_{2n}&{\cdots}&a_{n1}A_{n1}+a_{n2}A_{n2}+...+a_{nn}A_{nn}\\ \end{bmatrix}$

根據行列式的按行展開定理：某行元素與其對應代數餘子式相乘等於行列式的值，即：$a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+...+a_{1n}A_{1n}=|A|$。

根據異乘變零定理：某行元素與其他行元素對應代數餘子式相乘等於零，即：$a_{11}A_{21}+a_{12}A_{22}+...+a_{1n}A_{2n}=0$。

同理其他元素也是相同的處理，所以上述表達式：
$=\begin{bmatrix} |A|&0&{\cdots}&0\\ 0&|A|&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&|A|\\ \end{bmatrix}$

$=|A|E$

② $A^*A=\begin{bmatrix} A_{11}&A_{21}&{\cdots}&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&{\cdots}&A_{n2}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ A_{1n}&A_{2n}&{\cdots}&A_{nn}\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&{\cdots}&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&{\cdots}&a_{2n}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ a_{n1}&a_{n2}&{\cdots}&a_{nn}\\ \end{bmatrix}$

根據矩陣的乘法得：
$=\begin{bmatrix} a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21}+...+a_{n1}A_{n1}&a_{12}A_{11}+a_{22}A_{21}+...+a_{n2}A_{n1}&{\cdots}&a_{1n}A_{11}+a_{2n}A_{21}+...+a_{nn}A_{n1}\\ a_{11}A_{12}+a_{21}A_{22}+...+a_{n1}A_{n2}&a_{12}A_{12}+a_{22}A_{22}+...+a_{n2}A_{n2}&{\cdots}&a_{1n}A_{12}+a_{2n}A_{22}+...+a_{nn}A_{n2}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ a_{11}A_{1n}+a_{21}A_{2n}+...+a_{n1}A_{nn}&a_{12}A_{1n}+a_{22}A_{2n}+...+a_{n2}A_{nn}&{\cdots}&a_{1n}A_{1n}+a_{2n}A_{2n}+...+a_{nn}A_{nn}\\ \end{bmatrix}$

根據行列式的按列展開定理：某列元素與其對應代數餘子式相乘等於行列式的值，即：$a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21}+...+a_{n1}A_{n1}=|A|$。

根據異乘變零定理：某列元素與其他列元素對應代數餘子式相乘等於零，即：$a_{12}A_{11}+a_{22}A_{21}+...+a_{n2}A_{n1}=0$。

同理其他元素也是相同的處理，所以上述表達式：
$=\begin{bmatrix} |A|&0&{\cdots}&0\\ 0&|A|&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&{\cdots}&|A|\\ \end{bmatrix}$

$=|A|E$

綜上所述：$AA^*=A^*A=|A|E$。

推論2.4.1：若$|A|{\neq}0$，則：$\color{red}{|A^*|=|A|^{n-1}}$。

證明：因爲$AA^*=|A|E$，兩邊取行列式得：
$|AA^*|=||A|E|$

即：$|A||A^*|=|A|^n|E|$
又因爲：$|E|=1$
所以：$|A||A^*|=|A|^n$
因爲$|A|{\neq}0$，所以兩邊同時除以$|A|$得：
$|A^*|=|A|^{n-1}$
故原式獲證。

事實上，可以證明，當$|A|=0$時，以上結論也是成立的。

5 引用

《線性代數》高清教學視頻 “驚歎號”系列 宋浩老師_嗶哩嗶哩 (゜-゜)つロ 乾杯~-bilibili_2.4 逆矩陣（一）