【線性代數公開課MIT Linear Algebra】 第五課 排列矩陣、轉置、向量空間與列空間

排列矩陣

permutation matrix 排列矩陣指的是可以完成行互換的矩陣

這是上一課當中的內容，我們已經知道在LU分解中若pivot都不爲0則我們無需進行行互換，當pivot存在0時，我們需要將其與一個合適的行互換來繼續LU分解，最後我們會得到
PA=LU

以上皆是假設A 可逆（意味着我們可以選到不爲0的pivot）,別忘了關於排列矩陣的一個重要性質:
P−1=PT

轉置

(AT)ij=Aji

轉置的概念很簡單，行變列，列變行，如同上式，介紹轉置的一個主要原因在於對於一個不是方陣的矩陣R ，RTR 或者RRT 可以讓我們得到一個方陣，這麼做的原因很大一部分在於我們會求方陣的逆但不知道非方陣的逆。
這裏引入symmetric matrix對稱矩陣，指的是滿足AT=A 的矩陣，例子：

這裏要說一個有趣的事情，上面提到的RTR 或RRT 得到的都是symmetric matrix對稱矩陣，why？

(RTR)T=RT(RT)T=RTR

向量空間

什麼是向量

通常一個向量由N個實數組成，二維向量在R2 這個向量空間中

R2 是什麼？R 代表實數，2即表示這個向量由兩個實數組成

對於向量我們可以做哪些線性的操作？
…
加法和乘法(scalar),減法是加上一個負的scalar，除法可以用乘法表示

回到向量空間

所有的二維向量組成向量空間R2

在向量空間中，對任意向量做加法或乘法其結果仍然在向量空間中
在R2 中的向量子空間只能是一條線（過零點）或者是0向量
在R3 中的向量子空間只能是一條線（過零點）、一個平面（過零點）或者是0向量

必須過零點的原因是scalar可以爲0，任意向量乘以0都會變成0向量

列空間

讓我們以向量空間的方式來觀察矩陣，對於矩陣A

取出A 的兩個column vector，其線性組合即構成了一個向量空間，我們稱之爲列空間，很明顯這是一個在R3 內的平面

PS：本文圖片皆來自公開課視頻截圖
PS2：發現已經有一位童鞋做過一樣的事情了：
http://blog.csdn.net/suqier1314520/article/details/10274755
PS3：寫博客好花時間，比看一節課更久，鑑於有了上面別人的筆記，爲了效率，之後的內容將會只寫關鍵點