【線性代數公開課MIT Linear Algebra】 第七課 Ax=0的算法

本系列筆記爲方便日後自己查閱而寫，更多的是個人見解，也算一種學習的複習與總結，望善始善終吧~

行階梯矩陣

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回到我們最初的問題Ax=0 ，我們知道可以使用消元法求解，現在將介紹具體算法

還記得消元的過程吧？參看第二課
http://blog.csdn.net/a352611/article/details/48603941
我們可以利用pivot對矩陣進行化簡，使其成爲階梯矩陣的形式，如：

從column space的角度看，我們將pivot所在列稱爲pivot column，其他列稱爲free column。

爲什麼叫它們free呢？因爲可以很容易地看出free column都可以由pivot column 線性組合（linear combination）得到，這意味着不論free column乘以一個怎樣的係數都會被pivot vector的線性組合抵消爲0，也別忘記這裏消元進行的操作都可以用矩陣乘法表示，所以將所有的消元操作寫爲P ，則
Ax=PUx=0 即Ux=0 的null space 就是Ax=0 的。
null space就是任取一列free column，用pivot column線性組合得到它，此時的scalar就是Ax=0 的特解（free column的scalar爲1），寫成依次寫爲vector形式（乘任意scalar皆爲解），將vector組合起來即爲null space。
上例最終解：

行最簡矩陣

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行最簡矩陣（row reduce echelon form， 簡寫爲rref）
將行階梯矩陣pivot所在列的pivot化爲1並將除pivot number外的數全部化爲0（通過行操作輕鬆實現），這樣就能得到行最簡矩陣rref

從 column vector角度來看，一個3*4的矩陣的column vector落在R3 所以那些pivot vector 肯定是集合[1,0,0]T,[0,1,0]T,[0,0,1]T 的子集

化爲rref的形式的目的就在於我們想要直接寫出null space，這裏我們引入null matrix的概念，就是把剛纔組合成null space的vector當做column vector拼成一個矩陣，很明顯，這個矩陣N :

PS: MATLAB 中，使用rref 和null 函數可以求解矩陣的行最簡矩陣和零空間，對於null函數，其返回的是norm vector（單位向量）
PS2：更詳細的課堂筆記見另一位仁兄的筆記 http://blog.csdn.net/suqier1314520/article/details/10304117