【線性代數公開課MIT Linear Algebra】 第十課 四個子空間

本系列筆記爲方便日後自己查閱而寫，更多的是個人見解，也算一種學習的複習與總結，望善始善終吧~

四個基本子空間

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到目前爲止，我們詳細的探討了column space 和null space，接下來我們將引申到row space與其對應的null space，通常我們稱之爲**左零空間**left null space，這四個子空間就是本課內容。

基本概念

列空間是由列向量構成的空間，行空間則是由行向量構成的空間

換個角度來看，row space就是原矩陣轉置後的column space(行列顛倒了嘛)
同樣的，left null space也可以看出是原矩陣轉置後的null space

性質

行空間 row space

維數 dimension

對於column space 我們知道其dimension就是rank

對於矩陣來說，rank(A)=rank(AT)

由上可知，row space的dimension就是rank(AT) ，這意味着它和column space的dimension 是相同的。

基 basics

還記得rref(行最簡式)？其化簡過程爲行變換，實際上就是對row vector進行線性組合linear combination，其行空間並不會發生改變，而我們最終得到的行最簡矩陣R 的非零行向量就是矩陣R 的row space的basics，也就是原矩陣的row space的basics。
同理，column space 的basics可由矩陣轉置後的rref獲得。

左零空間 left null space

性質

對於ATy=0 ，兩邊都轉置transpose，得yTA=0

現在方程的形式是一個行向量左乘一個矩陣，因此得名left null space。

維數 dimension

null space的維數是矩陣的列數n−rank ，同理易知left null space的維數是矩陣的行數m−rank

基 basics

觀察我們化簡行最簡rref的過程，中間所有的化簡步驟都可以用一個矩陣E 表示，我們發現最終的R裏面存在零向量，R 中的每一行都是A中的column vector線性組合的結果，這意味着如果y取R 中零向量所在的行對應E 中的row vector，我們可以得到零向量，即該E 的row vector就是解，這就是我們要找的基basics。

老師最後引入了矩陣空間matrix space，從Rn進入了Rn∗n 又一次刷新了我的三觀，具體的得看下一節課了。

PS：更詳細的課堂筆記見另一位仁兄的筆記 http://blog.csdn.net/suqier1314520/article/details/13294493
PS2：文中各種英文的原因在於我急於熟悉這些概念的英文名稱，而一直重複記錄和理解是我目前能想到的一個笨辦法