【線性代數公開課MIT Linear Algebra】 第八課 Ax=b，我們的核心問題

本系列筆記爲方便日後自己查閱而寫，更多的是個人見解，也算一種學習的複習與總結，望善始善終吧~
到這一課突然很有感觸，我們到現在爲止所學的東西，都是爲了解決Ax=b ，有感於學校的教學，捨本逐末，概念是用來合理的解釋和解決問題的，不是嗎？

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最初的起點 Ax=b

在課上我們會看到老師求解時，將A 寫爲增廣矩陣的形式[AM∗N|bM∗1] ，爲什麼可以這麼做？
Ax=bAx−b=0 ,A 爲M∗N ，x 爲N∗1 ，b爲M∗1
可以寫爲

[Ab][x−1]

對增廣矩陣消元可以比較容易的看出b 能否由A 的col vector線性組合產生(相關內容爲第六課http://blog.csdn.net/a352611/article/details/48958079)
給定一個b，要找到所有的解有一個簡便的方式，即找到一個特解（線性組合的方式）之後加上null space，何爲特解？在消元的過程中，化爲rref後可以很容易看出如何用pivot column組合出b，老師用的方法是化爲階梯矩陣然後無視free column的方式找出線性組合（特解），道理一樣。
下面的話有些亂，可以跳過不看

實際上到這裏有點領會rank的重要性，rank是pivot column的數量，其實我們有了pivot column就能描述出整個space，這個space可以包含矩陣中其他的free column，這是矩陣的共性，我們熟悉的三維空間中，我們常用的pivot column就是[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]也就是xyz軸，我們以此來描述整個R3 的space，任意一個矩陣也是可以找到自己的pivot column，類似於找到可以組成整個space的幾個關鍵的向量

關於秩rank的討論

祭出大殺器

第一種，最簡單，pivot column可以表示整個空間，而b也肯定落在空間內，沒有free column，所以必有且僅有一個解
第二種，pivot column無法可以表示整個空間，而b不一定定落在pivot column可以表示空間內，沒有free column，所以當b在pivot column可以表示的空間外時，無解，反之，必有且僅有一個解
第三種，pivot column可以表示整個空間，而b也肯定落在空間內，同時有free column，所以必有且有無窮多解，由於free column的存在，可以在free column上找出無窮多解
第四種，pivot column可以表示整個空間，而b不一定定落在pivot column可以表示空間內，有free column，所以當b在pivot column可以表示的空間外時，無解，反之，必有且有無窮多解

PS：更詳細的課堂筆記見另一位仁兄的筆記
http://blog.csdn.net/suqier1314520/article/details/10564149