在上一篇中我講述了圖像金字塔（高斯金字塔和拉普拉斯金字塔）。這了篇中介紹在SIFT檢測中用到的DoG高斯差分算子。
此處的高斯金字塔的形成過程上前文的高斯金字塔稍有不同。
在SIFT關鍵角點檢測中，在不同的尺度空間不能使用相同的窗口檢測SIFT極值點。對小的角點要用小的窗口，對大的角點只能使用大的窗口。爲了達 到這個目的我們要使用尺度空間濾波器。
尺度空間濾波器：尺度空間濾波器可以使用一些列具有 不同方差 σ 的高斯卷積核構成。使用具有不同方差值 σ 的高斯拉普拉斯算子 （LoG）對圖像進行卷積，LoG 由於具有不同的方差值 σ 所以可以用來檢測不 同大小的斑點（當 LoG 的方差 σ 與斑點直徑相等時能夠使斑點完全平滑。
簡 單來說，方差 σ 就是一個尺度變換因子。例如，使用一個小方差 σ 的高斯 卷積核是可以很好的檢測出小的角點，而使用大方差 σ 的高斯卷積核時可以很 好的檢測出大的角點。所以我們可以在尺度空間和二維平面中檢測到局部最大 值，如（x，y，σ）, 這表示在 σ 尺度中（x，y）點可能是一個關鍵點。
高斯金字塔的詳細構建過程：
1） 先將原圖像擴大一倍之後作爲高斯金字塔的第1組第1層，將第1組第1層圖像經高斯卷積（其實就是高斯平滑或稱高斯濾波）之後作爲第1組金字塔的第2層，高斯卷積函數爲：
對於參數σ，在Sift算子中取的是固定值1.6。
2）將σ乘以一個比例係數k,等到一個新的平滑因子σ=k*σ，用它來平滑第1組第2層圖像，結果圖像作爲第3層。
3） 如此這般重複，最後得到L層圖像，在同一組中，每一層圖像的尺寸都是一樣的，只是平滑係數不一樣。它們對應的平滑係數分別爲：0，σ，kσ，k^2σ,k^3σ……k^(L-2)σ。
4） 將第1組倒數第三層圖像作比例因子爲2的降採樣（如只取奇數行或奇數列），得到的圖像作爲第2組的第1層，然後對第2組的第1層圖像做平滑因子爲σ的高斯平滑，得到第2組的第2層，就像步驟2中一樣，如此得到第2組的L層圖像，同組內它們的尺寸是一樣的，對應的平滑係數分別爲：0，σ，kσ，k^2σ,k^3σ……k^(L-2)σ。但是在尺寸方面第2組是第1組圖像的一半。
這樣反覆執行，就可以得到一共O組，每組L層，共計O*L個圖像，這些圖像一起就構成了高斯金字塔。
注：高斯方差σ的大小與窗口的大小存在一個倍數關係：窗口大小等於 6 倍方差加 1，所以方差的大小也決定了窗口大小。
LoG 的計算量非常大，所以 SIFT 算法使用高斯差分算子（DoG）來對 LoG 做近似。DoG 就是這組具有不同分辨率的圖像金字塔中相鄰的兩層之間的差值。
附1：LoG算子
附1：DoG算子
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在 DoG 搞定之後，就可以在不同的尺度空間和 2D 平面中搜索局部最大 值了。對於圖像中的一個像素點而言，它需要與自己周圍的 8 鄰域，以及尺度 空間中上下兩層中的相鄰的 18（2x9）個點相比（共27個點相比）。如果是局部最大值，它就可能是一個關鍵點。基本上來說關鍵點是圖像在相應尺度空間中的最好代表。如 下圖所示：
在同一組中，每一層圖像的尺寸都是一樣的，只是平滑係數不一樣。它們對應的平滑係數分別爲：0，σ，kσ，k^2σ,k^3σ……k^(L-2)σ。
SIFT算法的作者在文章中給出了 SIFT 參數的經驗值：octaves=4（通過降低採樣從而減小圖像尺寸，構成尺寸減小的圖像金字塔4 層），尺度空間 爲 5，也就是每個尺寸使用 5 個不同方差的高斯核進行卷積，初始方差是 1.6， k 等於 √2 等。
