算法學習之數據結構之紅黑樹（一）

　　一，紅黑樹性質。

　　由於二叉查找樹知道，一個高度爲h的二叉查找樹可以實現任何一種基本的動態幾何操作，如search，insert，minimum，delete，successor等操作，其時間都是O(h)，這樣樹的高度低了就會執行的比較快，但是當樹的高度較高時，操作的性能可能不比鏈表好。紅黑樹是許多“平衡的”查找樹中的一種，他能保證在最壞的情況下，基本的動態集合操作的時間爲O(lgn)。

　　紅黑樹的性質。紅黑樹是一種二叉查找樹，，每一個節點增加一個存儲位表示節點的顏色，爲紅色或者黑色。紅黑樹確保沒有一條路徑會比其他路徑長出兩倍。因而是接近平衡的。

　　樹的每個節點包含五個域：color, parent, key, left, right。一個二查找樹如果滿足如下紅黑性質，則爲一個紅黑樹。

　　1)每個節點或是紅的，或是黑的。

　　2)根節點是黑。

　　3)每個葉節點（NIL）是黑的。

　　4)如果一個節點是紅的，則它的兩個孩子都是黑的。

　　5)對每個節點，從該節點到其子孫節點的所有路徑上包含相同數目的黑節點。

　　從某個節點x出發到達一個葉節點的任意一條路徑上，黑色節點的個數成爲該節點x的黑高度。

　　一個有n個內節點的紅黑樹的高度至多爲2lg(n+1)

　　二、紅黑樹旋轉。

　　當對紅黑樹上進行insert和delete時，對樹進行了修改，結果可能會違反紅黑樹的性質，所以需要改變樹中的節點的顏色和指針結構，即需要進行旋轉。

　　左旋，假設它的右孩子節點y不是nil[T]；x可以爲樹內任意右孩子不是nil[T]的節點，左旋以x和y之間的鏈爲軸進行，它使y成爲該子樹新的根，x成爲y的左孩子節點，而y的左孩子節點爲x的右孩子。

　　僞代碼如下：

left-rotate(T, x)
y = right[x]
right[x] = left[y] // y的左子樹變爲x的右子樹
parent[left[y]] = x
parent[y] = parent[x] // x的父親節點是y的父親節點
if parent[y] == null
    then root[T] = y // x的根節點是根節點則置爲y
    else if x == left[parent[x]] // 如果x是其父節點的左孩子節點，則將y置爲x父節點的左孩子節點否則置爲其父節點的右孩子節點
             then left[parent[x]] = y
             else right[parent[x]] = y
left[y] = x // y的左孩子結點是x
parent[x] = y // x的父親節點是y

　　三、紅黑樹插入。

　　分爲兩部分，先把節點插入紅黑樹中，並着爲紅色，然後進行修補以保持紅黑樹的性質。先看前一部分的僞代碼，和二叉查找樹的插入大部分類似。

rb-insert(T, z)
y = null
x = root[T]
while x != null
    do y = x
        if(key[x] < key[z])
            then x = right[x]
            else x = left[x]
parent[z] = y
if(y == null) //樹是空的
    then root[T] = z
    else if key[z] < key[y]
        then left[y] = z
        else right[y] = z
left[z] = nil[T]
right[z] = nil[T]
color[z] = RED // 着色爲紅色
rb-insert-fixup(T, z)

　　就最後四行和二叉查找樹不一樣，其他的都一樣，並着爲紅色，然後進行修補以保持紅黑樹的性質，接下來看rb-insert-fixup(T, z)，將插入的節點z着爲紅色以後，可能破壞的性質有性質2和性質4，所以我們要做的就是恢復性質2和性質4.先大致說一下判斷情況：

1，首先讓一個指針y指向z的叔叔節點（z是要刪除的節點）。

2，如果y是紅色的，CASE1。則使z的父親節點和叔叔節點改爲黑色，z的祖父及誒單改爲紅色。然後z轉移到z的祖父節點。

3，當y的顏色是黑色時，

①.首先判斷z是否是其父親結點的右兒子，若是，則調整爲左兒子(用旋轉)。 CASE2。

②.其次使z的父親結點顏色爲黑，z的祖父結點顏色爲紅，並以z的祖父結點爲軸右旋，CASE3。看僞代碼吧。

僞代碼如下：

rb-insert-fixup(T, z)
while color[p[z]] = RED
    do if parent[z] == left[parent[parent[z]]] // z節點的父親節點是其祖父節點的左孩子節點
             then y = right[parent[parent[z]]] // y爲z節點的祖父節點的右孩子節點，即叔叔節點
                    if color[y] == RED // 叔叔節點爲紅色 CASE1
                        then color[parent[z]] = black // 父親節點黑色
                               color [y] = black // 叔叔節點黑色
                               color[parent[parent[z]] = red // 祖父節點紅色
                               z = parent[parent[z]]
                        esle if z == right[parent[z]] // 叔叔節點是黑的，且z爲父節點的右孩子節點 CASE2
                                 then z = parent[z]
                                        left-rotate(T, z)  // 左旋轉
                         // CASE3
                        color[parent[z]] = black //把父節點着黑色
                        color[parent[parent[z]]] = red //原來的祖節點着紅色
                        right-rotate(T, z)
         else // z節點的父親節點是其祖父節點的右孩子節點
                操作和左孩子節點一樣
color[root[T]] = black // 最後把根節點置爲黑色

具體解釋如下：

　　根據Z的父節點是Z的祖節點的左子節點還是右子節點，分爲兩組對稱的情況，每組有3種情況。以Z的父節點是Z祖節點的左子節點爲例：