最大子序列和

最大子序列和

給定（可能有負的）整數A1,A2,…,AN，求子序列和的最大值。
例如：對於輸入-2，11，-4，13，-5，-2，答案爲20（從A2到A4）

法1：窮舉所有的可能

時間複雜度爲

O(n^{3})

 public static int maxSubSum1(int a[]){
        int max=0;
        for (int i=0;i<a.length;i++){
            for (int j=i;j<a.length;j++){
                int s=0;
                for (int k=i;k<=j;k++){
                    s+=a[k];
                }
                if (s>max){
                    max=s;
                }
            }
        }
        return max;
    }

法2：撤銷一個for循環來避免三次的運行時間

時間複雜度爲

O(n^{2})

public static int maxSubSum2(int a[]){
        int max=0;
        for (int i=0;i<a.length;i++){
            int s=0;
            for (int j=i;j<a.length;j++){
                s+=a[j];
                if (s>max){
                    max=s;
                }
            }
        }
        return max;
    }

法3：使用分治法，先分別計算出左半部分、右半部分的最大子序列和，然後計算出跨越中間部分的最大子序列和，求三個中的最大值即可。

時間複雜度爲

O(nlogn)

//分治法
    public static int maxSubSum3(int a[],int left,int right){
        int max=0;
        if (left==right){
            if (a[left]>0)
                return a[left];
            else
                return 0;
        }
        int mid=(right+left)/2;
        int l=maxSubSum3(a,left,mid);//求左半部分的最大子序列和
        int r=maxSubSum3(a,mid+1,right);//求右半部分的最大子序列和
        /*求跨越中間元素的最大子序列和，
        左邊的從中間元素向左計算，右邊的從中間元素的下一個元素向右計算
        */
        int maxLeftBorderSum=0;
        int leftBorderSum=0;
        for (int i=mid;i>=left;i--){
            leftBorderSum += a[i];
            if (leftBorderSum>maxLeftBorderSum)
                maxLeftBorderSum=leftBorderSum;
        }
        int maxRightBorderSum=0;
        int rightBorderSum=0;
        for (int i=mid+1;i<=right;i++){
            rightBorderSum += a[i];
            if (rightBorderSum>maxRightBorderSum)
                maxRightBorderSum=rightBorderSum;
        }
        int max_lr=Math.max(l,r);
        max=Math.max(max_lr,maxLeftBorderSum+maxRightBorderSum);
        return max;

法4：動態規劃

令狀態dp[i]表示以A[i]作爲末尾的連續序列的最大值
當dp[i-1]>0，dp[i]=dp[i-1]+A[i]
否則，dp[i]=A[i]
所以，dp[i]=max(dp[i-1]+a[i],a[i]);

O(n)

//動態規劃
    public static int maxSubSum4(int a[]){
        int maxSum=0,thisSum=0;
        for (int i=0;i<a.length;i++){
            thisSum+=a[i];
            if (thisSum>maxSum)
                maxSum=thisSum;
            else if (thisSum<0)
                thisSum=0;
        }
        return maxSum;
    }