Stein算法求最大公約數 ( ANSI C )

首先引進一個符號：g_c_d是greatest common divisor（最大公約數）的縮寫，g_c_d( x,y ) 表示x和y的最大公約數。然後有一個事實需要了解：一個奇數的所有約數都是奇數。這個很容易，下面我們要用到。
    來研究一下最大公約數的性質，我們發現有 g_c_d( k*x,k*y ) = k*g_c_d( x,y ) 這麼一個非常好的性質（證明我就省去了）。說他好是因爲他非常符合我們化小的思想。我們試取 k=2 ，則有 g_c_d( 2x,2y ) = 2 * g_c_d( x,y )。這使我們很快聯想到將兩個偶數化小的方法。那麼一奇一個偶以及兩個奇數的情況我們如何化小呢？

    先來看看一奇一偶的情況： 設有2x和y兩個數，其中y爲奇數。因爲y的所有約數都是奇數，所以 a = g_c_d( 2x,y ) 是奇數。根據2x是個偶數不難聯想到，a應該是x的約數。我們來證明一下：(2x)%a=0，設2x=n*a，因爲a是奇數，2x是偶數，則必有n是偶數。又因爲 x=(n/2)*a，所以 x%a=0，即a是x的約數。因爲a也是y的約數，所以a是x和y的公約數，有 g_c_d( 2x,y ) <= g_c_d( x,y )。因爲g_c_d( x,y )明顯是2x和y的公約數，又有g_c_d( x,y ) <= g_c_d( 2x,y )，所以 g_c_d( 2x,y ) = g_c_d( x,y )。至此，我們得出了一奇一偶時化小的方法。

    再來看看兩個奇數的情況：設有兩個奇數x和y，似乎x和y直接向小轉化沒有什麼太好的辦法，我們可以繞個道，把x和y向偶數靠攏去化小。不妨設x>y，我們注意到x+y和x-y是兩個偶數，則有 g_c_d( x+y,x-y ) = 2 * g_c_d( (x+y)/2,(x-y)/2 )，那麼 g_c_d( x,y ) 與 g_c_d( x+y,x-y ) 以及 g_c_d( (x+y)/2,(x-y)/2 ) 之間是不是有某種聯繫呢？爲了方便我設 m=(x+y)/2 ，n=(x-y)/2 ，容易發現 m+n=x ，m-n=y 。設 a = g_c_d( m,n )，則 m%a=0,n%a=0 ，所以 (m+n)%a=0，(m-n)%a=0 ，即 x%a=0 ，y%a=0 ，所以a是x和y的公約數，有 g_c_d( m,n )<= g_c_d(x,y)。再設 b = g_c_d( x,y )肯定爲奇數，則 x%b=0,y%b=0 ，所以 (x+y)%b=0 ，(x-y)%b=0 ，又因爲x+y和x-y都是偶數，跟前面一奇一偶時證明a是x的約數的方法相同，有 ((x+y)/2)%b=0,((x-y)/2)%b=0 ，即 m%b=0 ，n%b=0 ，所以b是m和n的公約數，有 g_c_d( x,y ) <= g_c_d( m,n )。所以 g_c_d( x,y ) = g_c_d( m,n ) = g_c_d( (x+y)/2,(x-y)/2 )。

我們來整理一下，對兩個正整數 x>y ：
1.均爲偶數 g_c_d( x,y ) =2g_c_d( x/2,y/2 )；
2.均爲奇數 g_c_d( x,y ) = g_c_d( (x+y)/2,(x-y)/2 )；
2.x奇y偶   g_c_d( x,y ) = g_c_d( x,y/2 )；
3.x偶y奇   g_c_d( x,y ) = g_c_d( x/2,y )  或 g_c_d( x,y )=g_c_d( y,x/2 )；

現在我們已經有了遞歸式，還需要再找出一個退化情況。注意到 g_c_d( x,x ) = x ，我們就用這個。

int Stein( unsigned int x, unsigned int y )
/**//* return the greatest common divisor of x and y */
...{
        int factor = 0;
        int temp;

        if ( x < y )
        ...{
                temp = x;
                x = y;
                y = temp;
        }
        if ( 0 == y )
        ...{
                return 0;
        }
        while ( x != y )
        ...{
                if ( x & 0x1 )
                ...{/**//* when x is odd */
                        if ( y & 0x1 )
                        ...{/**//* when x and y are both odd */
                                y = ( x - y ) >> 1;
                                x -= y;
                        }
                        else
                        ...{/**//* when x is odd and y is even */
                                y >>= 1;
                        }
                }
                else
                ...{/**//* when x is even */
                        if ( y & 0x1 )
                        ...{/**//* when x is even and y is odd */
                                x >>= 1;
                                if ( x < y )
                                ...{
                                        temp = x;
                                        x = y;
                                        y = temp;
                                }
                        }
                        else
                        ...{/**//* when x and y are both even */
                                x >>= 1;
                                y >>= 1;
                                ++factor;
                        }
                }
        }
        return ( x << factor );
}

 

Stein算法的優勢是不言而喻的，上面的代碼只有位運算和減法，不僅速度加快，而且結局了歐幾里德算法求兩個大數最大公約數的不便。不僅如此，Stein算法還可以很容易的寫成彙編語言實現。