一、問題的提出
兩年之前我寫過一篇可變參數學習筆記，裏面曾經簡單的解釋過一句：
代碼
((sizeof(n)+sizeof(int)-1)&~(sizeof(int)-1))
的作用是在考慮字節對齊的因素下計算第一個可變參數的起始地址。
當時限於時間和水平，未能做更詳細的解釋。
今天(2007-11-26)在csdn論壇上看到了一個帖子
http://topic.csdn.net/u/20071123/16/c8d17d3f-9f49-49af-a6d8-1d7a7d84dc1c.html?seed=303711257
問題：CRT源碼分析中一個關於可變函數參數的問題
提問者:Sun_Moon_Stars
裏面又問到了這個宏，於是決定抽出半天時間，把這個問題詳細的說清楚。也算是把我的那篇文章
做一個完美的結尾。
二、引子
先看一個日常生活中的問題，
問題1:假設有要把一批貨物放到集裝箱裏，貨物有12件，
一個箱子最多能裝6件貨物，求箱子的數目。
解答：顯然我們需要12/6=2個箱子，並且每個箱子都是滿的。這個連小學生都會算:-)
問題2: 把問題1的條件改一下，假設一個箱子最多能裝5件貨物，那麼現在的箱子數是多少？
解答: 12/5=2.4個，但是根據實際情況，箱子的個數必須爲整數，（有不知道這個常識的就不要再往下看了，
回小學重讀吧，呵呵）自然我們就要取3，
下面把問題一般化
三、一般數學模型
問題3:設一個箱子最多可以裝M件貨物，且現有N件貨物，
則至少需要多少個箱子，給出一般的計算公式。
這裏要注意兩點
1、箱子的總數必須爲整數
2、N不一定大於M，很顯然，即使N <M，也得需要一隻箱子
四、通項公式
1、預備知識
在討論之問題3的解答之前，我們先明確一下/運算符的含義。
定義/運算爲取整運算，即
對任意兩個整數N,M，必然有且只有唯一的整數X，滿足
X*M <= N < (X+1)*M，那麼記N/M=X。
這個也正是c裏/運算的確切含義。x的存在性和唯一性的嚴格證明可以見數論教材。
以後如無額外說明,/運算的含義均和本處一致。
/運算有一個基本的性質
若N=MX+Y，則N/M=X+Y/M，證明略
注意：N不是可以隨便拆的，設N=A+B，那麼一般情況下N/M 不一定等於 A/M+B/M，
如果A和B至少有一個是M的倍數，才能保證式子一定成立。
2、分步討論
根據上面的/運算符的定義，我們可以得到問題三的解答，分情況討論一下
已知N/M=X，那麼當
(1)、當N正好是M的倍數時即N=M*X時，那麼箱子數就是X=N/M
(2)、如果N不是M的倍數，即N=M*X+Y(1 <=Y <M)時
那麼顯然還要多一個箱子來裝餘下的Y件貨物，
則箱子總數爲X+1 = N/M+1
3、一般公式
上面的解答雖然完整，但是用起來並不方便，因爲每次都要去判斷N和M的倍數關係，
我們自然就要想一個統一的公式，於是，下面的公式出現了
箱子數目爲 (N+M-1)/M
這個式子用具體數字去驗證是很簡單的，留給讀者去做。
我這裏給一個完整的數學推導:
現在已經假定 /運算的結果爲取整（或者說取模），即
N/M=X，則XM <=N <(X+1)M
那麼，
(1)、當N=MX時，(N+M-1)/M= MX/M+(M-1)/M=X
(2)、當N=MX+Y(1 <=Y <M)時,
由1 <=Y < M,同時加上M-1，得到M <= Y-1+M <= 2M-1 <2M
根據 /運算的定義 (Y-1+M) /M = 1
所以 (N+M-1)/M = (MX+Y+M-1)/M= MX/M+(Y+M-1)/M= X+1
顯然 公式 (N+M-1)/M與2中的分步討論結果一致。
可能有的讀者還會問，這個公式是怎麼想出來的，怎麼就想到了加上那個M-1?
這個問題可以先去看看數論中的餘數理論。
五、對齊代碼的分析
有了上面的數學基礎，我們再來看看開頭所說的對齊代碼的含義
((sizeof(n)+sizeof(int)-1)&~(sizeof(int)-1))
意義就很明顯了
這裏。機器字長度sizeof(int)相當於箱子的容量M,變量的真實字節大小相於
貨物總數N，整個代碼就是求n所佔的機器字數目。
順便仔細的解釋一下
~(sizeof(int)-1))
這裏用到了一個位運算的技巧，即若M是2的冪，M=power(2,Y);
則N/M = N>>Y ，
另根據數論中的餘數定理，
有N=M*X+Z(1 < =Z < M)
而注意到這裏的N,M,Z都是二進制表示，所以把N的最右邊的Y位數字就是餘數Z.
剩下的左邊數字就是模X.
而內存對齊要計算的是佔用的總字節數（相當於箱子的最大容量），所以
總字節數 = ( N/M)*M =( N>>Y)<<Y
注意，這裏的右移和左移運算並未相互抵消，最後的結果實際上是把N中的餘數Z去掉（被清0），
而左邊模X得以保持不變。
而當M = power(2,Y) 時
(N >>Y) << Y = (N &(~(M-1))也是一個恆等式（這個讀者也可以用數字驗證），
所以，就得到我們前面看到的宏
((sizeof(n)+sizeof(int)-1)&~(sizeof(int)-1))
注意：
(1)這裏最關鍵的一點就是M必須是2的冪（有人常常理解成2的倍數也可以，那是不對的），
否則上面的結論是不成立的
(2) ~(M-1)更專業的叫法就是掩碼(mask)。因爲數字和這個掩碼進行與運算後，數字的最右邊Y位的
數字被置0（"掩抹"掉了）.即掩碼最右邊的0有多少位，數字最右邊就有多少位被清0。
小結:
1、字節對齊的數學本質就是數論中的取模運算。在計算機上的含義就是求出一個對象佔用的機器字數目。
2、在數學上看內存計算的過程就是先右移再左移相同的位數，以得到箱子的最大容量。
3、在c中/運算可以用位運算和掩碼來實現以加快速度（省掉了求位數的過程），前提是機器字長度必須爲2的冪。