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多維正態分佈與圖形識別
- 對一維，二維，多維正態分佈的理解
- 從圖形識別角度理解和應用正態分佈
目錄
寫在前面
- 學無止境，最初只是想要寫一個對視頻流進行運動識別匹配的程序，然而匹配識別的算法精度不夠，於是開始學習線性代數，統計學裏的一些知識。這兩天又重新把正態分佈理解了一下。下文裏主要是對於正態分佈的直觀的想象和個人理解，請多指教。另外，因爲對於csdn博客插入數學公式還不太熟悉，用了LaTeX以後會在公式或者變量右邊出現一個“|”，還請不要在意。
從圖形識別的角度對正態分佈的理解
什麼是正態分佈？
一個彈珠從彈珠遊戲機（日本很流行的パチンコ）的頂端落下，並與設置好的障礙發生碰撞。那麼這個彈珠落下來的位置就是一個典型的一維正態分佈。
正態分佈，也叫高斯分佈，是用來表示一個服從正態分佈的隨機變量的概率分佈。而服從正態分佈的條件就是，該變量周圍存在大量作用因素，但作用因素的影響都很小，那麼視這個變量服從正態分佈。具體數學上的定義和限制條件先放過不提。
一維正態分佈下的識別與匹配
若有一組符合正態分佈的數據D₁，其平均值是μ，其標準差是σ，那麼對這組數據就可以用一維正態分佈的公式進行擬合，計算的結果就是這組數據的概率分佈函數。此時再有一個數據x₁，想要知道x₁在D₁的分佈下的概率，那麼就直接將x₁帶入D₁的正態分佈函數中計算出相應的分佈概率即可。
二維正態分佈下的識別與匹配
類似的，若有兩組二維數據D₁{(x₁,y₁),(x₂,y₂),……(xn , yn)}，D₂{(x’₁,y’₁),(x’₂,y’₂),……(x’ₐ,y’ₐ)}符合正態分佈，則通過計算每一維的平均值μx，μy，以及每一維的標準差σx，σy，可以計算得到D₁，D₂各自的正態分佈。
如果對一個二維正態分佈的圖像，將Z軸去掉，以等高線的形式表示其分佈的概率值的大小，那麼對於D₁，D₂的圖像，就變爲了一系列包含着的橢圓。
當一個新的二維向量T（x,y）需要識別匹配T屬於D₁還是D₂時，將T帶入
D₁，D₂的正態分佈公式後，得到的概率值大的即選定匹配結果。在圖中可以看到，T與D₂的歐式距離近（雖然不明顯，但是可以姑且想象），但是D₁在T的方向上概率變化緩慢（注意，橢圓表示的是密度的等高線），因此最終計算的結果應該是T匹配到D₁。
多維正態分佈
由此引申到多維正態分佈。
一組數據X在正態分佈wl中對應的概率可由上式計算。
wl是一個M維樣本，每一維樣本又有N個屬性的正態分佈，也就是一個M*N的矩陣，Σl是wl的協方差矩陣。X同樣是一個M*N的數據矩陣。
設X中的數據元素爲xmn。
且
μli是wl中各維度的第i個屬性相加求的平均值。
這樣通過P(X|wl)就計算出了X分佈在wl時候的概率值。有多個樣本wl1，wl2……wln時只要求出X在各個樣本中分佈的概率即可完成匹配。
一個圖形匹配實際問題
我學習多維正態分佈主要是因爲我遇到了下邊的問題。
現有三個樣本，每一個樣本是一個120*30的矩陣。矩陣的行表示存儲120幀連續的圖像特徵點信息，列表示每一幀圖像信息是一個10*3的向量(十個關節點的三維座標)。
現在又獲得了一個120*30的新的圖像流信息矩陣，要求將這個矩陣與三個樣本進行比較匹配。
假設這些關節點各自獨立不相互影響。
先求出與樣本矩陣的協方差矩陣，和樣本自身的平均值μ。然後計算P(X|wl)，並比較得出概率最大的樣本。
寫在後面
目前還沒有把這個算法實現代碼，所以精度還不能從實驗得知。但是首先，人的上半身10個關節點不能算完全獨立不影響，比如腕關節和肘關節在運動時常常有相同的位移趨勢等。這一點是否將會影響匹配結果還要等接下來的研究。
另外週二時候學習的奇異值分解與正態分佈也有很大聯繫。在數據矩陣X中，每一列表示一個數據點，每一行表示一維特徵。分解得到的S,U,V可以用正態分佈的觀點來看。U表示數據形成的正態分佈的軸的方向，是一組單位正交基；S代表這些軸的長度，利用奇異值可以將數據矩陣降維並且可以研究數據之間的相關性。
比如，利用奇異值分解之後的結果，可以確定出我上面問題中，120幀圖像流中，哪幾幀相關性強，並且這些相關性強的幀中，哪幾個關節點與這些幀的相關性強。也就是可以通過分類算法，將幀與動作聯繫在一起，從這樣的相關性的方面對動作進行初步分類識別。而降維後再計算正態分佈的概率想必肯定會提高識別的準確性。
在學習的路上希望能夠堅持下去，共勉。
