一、問題簡介
首先說下問題吧，這裏就不做廣告了，在社交網絡中，假設A和B是好友，B和C是好友，如果A和C不是好友，那麼就說C是A的二度好友，在一個有10萬人人際網絡中，如何在時間O(n)時間裏，找到某個人的十度好友。
查了下網上人們對這個問題解法的思路，大致有兩種觀點：（1）BFS；（2）並查集。對BFS解法的解釋挺多，思路都比較相近，現總結如下：
（1）設要查找十度好友的人爲A，則首先通過BFS對A的鄰接好友進行遍歷，並定義一個變量degree記錄當前BFS的深度；
（2）設置一個集合prefriend用來記錄在BFS過程中A的一度至九度的所有好友集合prefriend，然後找到十度好友後要剔除那些存在於prefriend中的好友，設置prefriend的原因是集合中如果有環，則會出現如果X是A的三度好友，同時X也有可能是A的十度好友；
（3）當degree==10時，從當前BFS的集合中再剔除prefriend集合中的好友，則剩下的好友便爲A的十度好友了。
採用BFS時間複雜度是BFS的複雜度O(V+E)。當集合中邊很多時，可能複雜度接近於二次複雜度。
網上對並查集的思路僅僅是提筆帶過，這裏較詳細的介紹下並查集的基本概念和對此問題解法的思路，體現下並查集這一單純又強大的算法的神奇。
二、並查集
一種簡單的用途廣泛的集合. 並查集是若干個不相交集合，能夠實現較快的合併和判斷元素所在集合的操作，應用很多，如其求無向圖的連通分量個數等。最完美的應用當屬：實現Kruskar算法求最小生成樹。
實現並查集主要實現其三個基本操作：
（1）Make_Set(x) 把每一個元素初始化爲一個集合，初始化後每一個元素的父親節點是它本身，每一個元素的祖先節點也是它本身。
（2）Find_Set(x) 查找一個元素所在的集合，查找一個元素所在的集合，即找到這個元素所在集合的祖先！這個纔是並查集判斷和合並的依據。判斷兩個元素是否屬於同一集合，只要看他們所在集合的祖先是否相同即可。
（3）Union(x,y) 合併x,y所在的兩個集合，合併兩個集合，也就是使一個集合的祖先成爲另一個集合的祖先，具體見下圖所示：
三、並查集的優化
（1）Find_Set(x)時 路徑壓縮
尋找祖先時我們一般採用遞歸查找，但是當元素很多亦或是整棵樹變爲一條鏈時，每次Find_Set(x)都是O(n)的複雜度，這裏我們採用路徑壓縮，即當我們經過遞歸地尋找祖先節點時，在"回溯"的時候順便將它的子孫節點都直接指向祖先，這樣以後再次Find_Set(x)時複雜度就變成O(1)了，如下圖所示；可見，路徑壓縮方便了以後的查找。
（2）Union(x,y)時 按秩合併
即合併的時候將元素少的集合合併到元素多的集合中，這樣合併之後樹的高度會相對較小。
四、代碼實現
int father[MAX]; /* father[x]表示x的父節點*/
int rank[MAX]; /* rank[x]表示x的秩*/
/* 初始化集合*/
void Make_Set(int x)
{
father[x] = x; //根據實際情況指定的父節點可變化
rank[x] = 0; //根據實際情況初始化秩也有所變化
}
/* 查找x元素所在的集合,回溯時壓縮路徑*/
int Find_Set(int x)
{
if (x != father[x])
{
father[x] = Find_Set(father[x]); //這個回溯時的壓縮路徑是精華
}
return father[x];
}
/*
按秩合併x,y所在的集合
下面的那個if else結構不是絕對的，具體<strong>根據實際情況</strong>變化
但是，宗旨是不變的即，按秩合併，實時更新秩。
*/
void Union(int x, int y)
{
x = Find_Set(x);
y = Find_Set(y);
if (x == y) return;
if (rank[x] > rank[y])
{
father[y] = x;
rank[x] += rank[y];
}else
{
if (rank[x] == rank[y])
{
rank[y]++;
}
father[x] = y;
}
}五、並查集解決十度好友問題
下面說下使用並查集解決十度好友問題的基本思路：
（1）設數據集合中的數據時以鄰接表的形式存儲的，如1->2->4->6->7，表示編號1的好友的鄰接表，以此類推；
（2）同樣設要查找十度好友的人爲A，合併A的一度好友，即1、2、4、6、7，這些好友的根節點都相同，爲了便於計算，我們應該維護一條記錄，記錄每次新加入集合S的節點集合NFriend（NFriend中每個點其實就是第N度好友的集合）；
（2）針對NS中每個點的好友集合進行合併，當然合併的過程中只需對要合併的點i進行判斷findSet(i)是否屬於集合S，如果屬於，則不用加入集合NFriend了；
（3）最後十步合併後，NFriend便是所求的集合。
