快速冪

快速冪的目的：

做到快速求冪。假設我們要求a^b,按照樸素算法就是把a連乘b次，這樣一來時間複雜度是O(b)也即是O(n)級別。如果n非常大時，就會超時。而快速冪的時間複雜度爲O(logn)。

快速冪的原理：

假設我們要求a^b，其實b是可以拆成二進制的，該二進制數第i位的權爲2^(i-1)，例如當b==11時,

11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1, 11的二進制是1011,因此a¹¹可以轉化爲算 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，從而可以將原來計算11次轉爲現在算三次。

由於是二進制，很自然地想到用位運算這個強大的工具： &  和 >>  。

 

&運算通常用於二進制取位操作，例如一個數 & 1 的結果就是取二進制的最末位。同時還可以判斷奇偶，x&1==0爲偶，x&1==1爲奇。>>運算則是去掉二進制最後一位。

實現代碼：

int poww(int a,int b){
    int ans=1,base=a;
    while(b!=0){
        if(b&1!=0)
        　　ans*=base;
        base*=base;
        b>>=1;
　 }
    return ans;
}

以b=11爲例，b=1011,二進制從右向左算，但乘出來的順序是 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，是從左向右的。

我們不斷的讓base*=base目的即是累乘，以便隨時對ans做出貢獻。

base*base==base^2,下一步再乘，就是base^2*base^2==base^4,然後同理  base^4*base4=base^8，指數正是 2^i 。