一般常用到的指數平滑法爲一次指數平滑、二次指數平滑和三次指數平滑，高次指數平滑一般比較難見到，因此本文着重介紹了一次、二次和三次指數平滑的特點與不同。
一次指數平滑一般應用於直線型數據，且一次指數平滑具有滯後性，可以說明有明顯的時間性、季節性。
二次指數平滑一般也應用於直線型，但是效果會比一次指數平滑好很多，也就相當於加強版的一次指數平滑。
三次指數平滑可以應用於拋物線型的數據，因爲數據在二次平滑過後還是具有斜率，那麼可以繼續使用三次指數平滑。
初值：不管什麼指數平滑都會有個初值，假如數據大於20項，那麼初值就可以認定爲第一個數據，或者利用下列公式計算也行；假如數據小於20項，則初始值爲：
低於20項
一般取3，大於20的看着取就行了。
一次指數平滑：
一次指數平滑需要滯後一期，給定平滑係數
，那麼一次指數平滑的計算公式爲：
預測第
期的數值則是上一期的實際值與預測值的加權平均，預測公式爲：
二次指數平滑：
給定平滑係數，那麼二次指數平滑的計算公式爲：
預測未來
期的值
的計算公式爲：
其中：
三次指數平滑：
給定平滑係數，那麼三次指數平滑的計算公式爲：
預測未來期的值的計算公式爲：
其中：
下面舉例說明，數據如下：
253993 | 275396.2 | 315229.5 | 356949.6 | 400158.2 | 442431.7 | 495102.9 | 570164.8 | 640993.1 | 704250.4 | 767455.4 | 781807.8 | 776332.3 | 794161.7 | 834177.7 | 931651.5 | 1028390 | 1114914 |
133 | 88 | 150 | 123 | 404 | 107 | 674 | 403 | 243 | 257 | 900 | 1043 | 1156 | 895 | 1200 | 1038 | 1024 | 1283 |
引入均方誤差概念來判斷平滑係數是否準確：
要使
最小則構成了一個關於的函數
，由此可以得到最優的平滑係數，這裏可以引入線性規劃的思想來求得最優解
但是：
python沒有線性規劃的包，所以就沒有細緻的代碼寫出來了，不過經過手動計算嘗試這樣子是可行的 |
在python3下編程，一次指數平滑代碼爲：
1 S1_1 = [] 2 for m in range(0, len(info_data_id)): 3 S1_1_empty = [] 4 x = 0 5 for n in range(0, 3): 6 x = x + int(info_data_sales[m][n]) 7 x = x / 3 8 S1_1_empty.append(x) 9 S1_1.append(S1_1_empty)10 # print(S1_1)11 12 a = [] ##這是用來存放阿爾法的數組13 info_MSE = [] ##計算均方誤差來得到最優的a(阿爾法)14 for i in range(0, len(info_data_sales)):15 v = input('請輸入第' + str(i + 1) + '組數據的a：')16 a.append(v)17 18 for i in range(0, len(info_data_sales)):19 MSE = 020 for j in range(0, len(info_data_sales[i])):21 S1_1[i].append(22 float(a[i]) * int(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * int(S1_1[i][j])) ##計算預估值23 MSE = (int(S1_1[i][j]) - int(info_data_sales[i][j])) ** 2 + MSE24 # print(info_data_sales[i][j], S1_1[i][j])25 MSE = (MSE ** (1 / 2)) / int(len(info_data_sales[i])) ##得到均方誤差26 info_MSE.append(MSE)27 # print(info_MSE)28 # print(S1_1)29 for i in range(0, len(S1_1)):30 print('第' + str(i + 1) + '組的一次平滑預估值爲:' + str(S1_1[i][len(S1_1[i]) - 1]) + '；均方誤差爲：' + str(info_MSE[i]))
二次指數平滑代碼爲：
1 S2_1 = [] 2 S2_2 = [] 3 for m in range(0, len(info_data_id)): 4 S2_1_empty = [] 5 x = 0 6 for n in range(0, 3): 7 x = x + float(info_data_sales[m][n]) 8 x = x / 3 9 S2_1_empty.append(x)10 S2_1.append(S2_1_empty)11 S2_2.append(S2_1_empty)12 # print(S2_2)13 a = [] ##這是用來存放阿爾法的數組14 info_MSE = [] ##計算均方誤差來得到最優的a(阿爾法)15 for i in range(0, len(info_data_sales)):16 v = float(input('請輸入第' + str(i + 1) + '組數據的a：'))17 a.append(v)18 19 ##下面是計算一次指數平滑的值20 S2_1_new1 = []21 for i in range(0, len(info_data_sales)):22 S2_1_new = [[]] * len(info_data_id)23 for j in range(0, len(info_data_sales[i])):24 if j == 0:25 S2_1_new[i].append(26 float(a[i]) * float(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S2_1[i][j]))27 else:28 S2_1_new[i].append(float(a[i]) * float(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(29 S2_1_new[i][j - 1])) ##計算一次指數的值30 S2_1_new1.append(S2_1_new[i])31 # print(S2_1_new1)32 # print(len(S2_1_new1[i]))33 34 ##下面是計算二次指數平滑的值35 S2_2_new1 = []36 info_MSE = [] ##計算均方誤差來得到最優的a(阿爾法)37 for i in range(0, len(info_data_sales)):38 S2_2_new = [[]] * len(info_data_id)39 MSE = 040 for j in range(0, len(info_data_sales[i])):41 if j == 0:42 S2_2_new[i].append(float(a[i]) * float(S2_1_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S2_2[i][j]))43 else:44 S2_2_new[i].append(float(a[i]) * float(S2_1_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(45 S2_2_new[i][j - 1])) ##計算二次指數的值46 MSE = (int(S2_2_new[i][j]) - int(info_data_sales[i][j])) ** 2 + MSE47 MSE = (MSE ** (1 / 2)) / int(len(info_data_sales[i]))48 info_MSE.append(MSE)49 S2_2_new1.append(S2_2_new[i])50 # print(S2_2_new1)51 # print(len(S2_2_new1[i]))52 53 ##下面是計算At、Bt以及每個預估值Xt的值，直接計算預估值，不一一列舉Xt的值了54 u = input('你要預估多少期？')55 Xt = []56 for i in range(0, len(info_data_sales)):57 At = (float(S2_1_new1[i][len(S2_1_new1[i]) - 1]) * 2 - float(S2_2_new1[i][len(S2_2_new1[i]) - 1]))58 Bt = (float(a[i]) / (1 - float(a[i])) * (59 float(S2_1_new1[i][len(S2_1_new1[i]) - 1]) - float(S2_2_new1[i][len(S2_2_new1[i]) - 1])))60 Xt.append(At + Bt * int(u))61 print('第' + str(i + 1) + '組的二次平滑預估值爲:' + str(Xt[i]) + '；均方誤差爲：' + str(info_MSE[i]))
三次指數平滑代碼爲：
1 S3_1 = [] 2 S3_2 = [] 3 S3_3 = [] 4 for m in range(0, len(info_data_id)): 5 S3_1_empty = [] 6 x = 0 7 for n in range(0, 3): 8 x = x + float(info_data_sales[m][n]) 9 x = x / 310 S3_1_empty.append(x)11 S3_1.append(S3_1_empty)12 S3_2.append(S3_1_empty)13 S3_3.append(S3_1_empty)14 # print(S3_1)15 a = [] ##這是用來存放阿爾法的數組16 info_MSE = [] ##計算均方誤差來得到最優的a(阿爾法)17 for i in range(0, len(info_data_sales)):18 v = float(input('請輸入第' + str(i + 1) + '組數據的a：'))19 a.append(v)20 21 ##下面是計算一次指數平滑的值22 S3_1_new1 = []23 for i in range(0, len(info_data_sales)):24 S3_1_new = [[]] * len(info_data_id)25 for j in range(0, len(info_data_sales[i])):26 if j == 0:27 S3_1_new[i].append(28 float(a[i]) * float(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S3_1[i][j]))29 else:30 S3_1_new[i].append(float(a[i]) * float(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(31 S3_1_new[i][j - 1])) ##計算一次指數的值32 S3_1_new1.append(S3_1_new[i])33 34 ##下面是計算二次指數平滑的值35 S3_2_new1 = []36 info_MSE = [] ##計算均方誤差來得到最優的a(阿爾法)37 for i in range(0, len(info_data_sales)):38 S3_2_new = [[]] * len(info_data_id)39 for j in range(0, len(info_data_sales[i])):40 if j == 0:41 S3_2_new[i].append(float(a[i]) * float(S3_1_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S3_2[i][j]))42 else:43 S3_2_new[i].append(float(a[i]) * float(S3_1_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(44 S3_2_new[i][j - 1])) ##計算二次指數的值45 S3_2_new1.append(S3_2_new[i])46 47 ##下面是計算二次指數平滑的值48 S3_3_new1 = []49 info_MSE = [] ##計算均方誤差來得到最優的a(阿爾法)50 for i in range(0, len(info_data_sales)):51 S3_3_new = [[]] * len(info_data_id)52 MSE = 053 for j in range(0, len(info_data_sales[i])):54 if j == 0:55 S3_3_new[i].append(float(a[i]) * float(S3_2_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S3_3[i][j]))56 else:57 S3_3_new[i].append(float(a[i]) * float(S3_2_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(58 S3_3_new[i][j - 1])) ##計算三次指數的值59 MSE = (int(S3_3_new[i][j]) - int(info_data_sales[i][j])) ** 2 + MSE60 MSE = (MSE ** (1 / 2)) / int(len(info_data_sales[i]))61 info_MSE.append(MSE)62 S3_3_new1.append(S3_3_new[i])63 # print(S3_3_new1)64 65 ##下面是計算At、Bt、Ct以及每個預估值Xt的值，直接計算預估值，不一一列舉Xt的值了66 u = input('你要預估多少期？')67 Xt = []68 for i in range(0, len(info_data_sales)):69 At = (70 float(S3_1_new1[i][len(S3_1_new1[i]) - 1]) * 3 - float(S3_2_new1[i][len(S3_2_new1[i]) - 1]) * 3 + float(71 S3_3_new1[i][len(S3_3_new1[i]) - 1]))72 Bt = ((float(a[i]) / (2 * ((1 - float(a[i])) ** 2))) * ((6 - 5 * float(a[i])) * (73 float(S3_1_new1[i][len(S3_1_new1[i]) - 1]) - 2 * (5 - 4 * float(a[i])) * float(74 S3_2_new1[i][len(S3_2_new1[i]) - 1]) + (4 - 3 * float(a[i])) * float(75 S3_3_new1[i][len(S3_3_new1[i]) - 1]))))76 Ct = (((float(a[i])) ** 2) / (2 * ((1 - float(a[i])) ** 2))) * (77 float(S3_1_new1[i][len(S3_1_new1[i]) - 1]) - float(S3_2_new1[i][len(S3_2_new1[i]) - 1])*2 + float(78 S3_3_new1[i][len(S3_3_new1[i]) - 1]))79 Xt.append(At + Bt * int(u) + Ct * (int(u) ** 2))80 print('第' + str(i + 1) + '組的三次平滑預估值爲:' + str(Xt[i]) + '；均方誤差爲：' + str(info_MSE[i]))
由於註釋寫得很清楚了，就不一段一段的解釋了
明顯看出數列爲線性的數列，所以用二次指數平滑會更好
得到的二次平滑結果如下：
誤差判斷：
誤差判斷 | 預估值 | 實際值 | 誤差 |
數列1 | 1193179 | 1192201 | 0.08% |
數列2 | 1250 | 1371 | 9.68% |
由此可見預測效果非常好
文章出處：https://www.cnblogs.com/TTyb/p/5716125.html
附上完整代碼：
1 from openpyxl import load_workbook 2 import xlsxwriter 3 4 if __name__ == '__main__': 5 judge = input('請選擇使用幾次指數平滑一次請按1；二次請按2；三次請按3：') 6 ##這裏是打開excel將數據儲存到數組裏面 7 wb = load_workbook(filename=r'C:\Users\Administrator\Desktop\data.xlsx') ##讀取路徑 8 ws = wb.get_sheet_by_name("Sheet1") ##讀取名字爲Sheet1的sheet表 9 info_data_id = [] 10 info_data_sales = [] 11 12 for row_A in range(1, 3): ## 遍歷第1行到2行 13 id = ws.cell(row=row_A, column=1).value ## 遍歷第1行到2行，第1列 14 info_data_id.append(id) 15 for row_num_BtoU in range(1, len(info_data_id) + 1): ## 遍歷第1行到2行 16 row_empty = [] ##建立一個空數組作爲臨時儲存地，每次換行就被清空 17 for i in range(2, 20): ## 遍歷第1行到2行，第1到19列 18 data = ws.cell(row=row_num_BtoU, column=i).value 19 if data == None: 20 pass 21 else: 22 row_empty.append(data) ##將單元格信息儲存進去 23 info_data_sales.append(row_empty) ##row_empty每次儲存完1到19列後壓給info_data_sales，然後row_empty被清空 24 # print(info_data_id) 25 # print(info_data_sales) 26 if judge == '1': 27 ##############################下面是計算St(1)下面寫爲S1_t_###################################### 28 print('你選擇了一次指數平滑預測') 29 ##一次指數平滑的初值爲S1_1，用S1_1來儲存每一組數據的一次平滑的數值 30 S1_1 = [] 31 for m in range(0, len(info_data_id)): 32 S1_1_empty = [] 33 x = 0 34 for n in range(0, 3): 35 x = x + int(info_data_sales[m][n]) 36 x = x / 3 37 S1_1_empty.append(x) 38 S1_1.append(S1_1_empty) 39 # print(S1_1) 40 41 a = [] ##這是用來存放阿爾法的數組 42 info_MSE = [] ##計算均方誤差來得到最優的a(阿爾法) 43 for i in range(0, len(info_data_sales)): 44 v = input('請輸入第' + str(i + 1) + '組數據的a：') 45 a.append(v) 46 47 for i in range(0, len(info_data_sales)): 48 MSE = 0 49 for j in range(0, len(info_data_sales[i])): 50 S1_1[i].append( 51 float(a[i]) * int(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * int(S1_1[i][j])) ##計算預估值 52 MSE = (int(S1_1[i][j]) - int(info_data_sales[i][j])) ** 2 + MSE 53 # print(info_data_sales[i][j], S1_1[i][j]) 54 MSE = (MSE ** (1 / 2)) / int(len(info_data_sales[i])) ##得到均方誤差 55 info_MSE.append(MSE) 56 # print(info_MSE) 57 # print(S1_1) 58 for i in range(0, len(S1_1)): 59 print('第' + str(i + 1) + '組的一次平滑預估值爲:' + str(S1_1[i][len(S1_1[i]) - 1]) + '；均方誤差爲：' + str(info_MSE[i])) 60 61 if judge == '2': 62 ##############################下面是計算St(2)下面寫爲S2_t_###################################### 63 print('你選擇了二次指數平滑預測') 64 65 ##二次指數平滑的初值爲S2_1，用S2_1_new來儲存每一組數據的一次平滑的數值 66 S2_1 = [] 67 S2_2 = [] 68 for m in range(0, len(info_data_id)): 69 S2_1_empty = [] 70 x = 0 71 for n in range(0, 3): 72 x = x + float(info_data_sales[m][n]) 73 x = x / 3 74 S2_1_empty.append(x) 75 S2_1.append(S2_1_empty) 76 S2_2.append(S2_1_empty) 77 # print(S2_2) 78 a = [] ##這是用來存放阿爾法的數組 79 info_MSE = [] ##計算均方誤差來得到最優的a(阿爾法) 80 for i in range(0, len(info_data_sales)): 81 v = float(input('請輸入第' + str(i + 1) + '組數據的a：')) 82 a.append(v) 83 84 ##下面是計算一次指數平滑的值 85 S2_1_new1 = [] 86 for i in range(0, len(info_data_sales)): 87 S2_1_new = [[]] * len(info_data_id) 88 for j in range(0, len(info_data_sales[i])): 89 if j == 0: 90 S2_1_new[i].append( 91 float(a[i]) * float(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S2_1[i][j])) 92 else: 93 S2_1_new[i].append(float(a[i]) * float(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float( 94 S2_1_new[i][j - 1])) ##計算一次指數的值 95 S2_1_new1.append(S2_1_new[i]) 96 # print(S2_1_new1) 97 # print(len(S2_1_new1[i])) 98 99 ##下面是計算二次指數平滑的值100 S2_2_new1 = []101 info_MSE = [] ##計算均方誤差來得到最優的a(阿爾法)102 for i in range(0, len(info_data_sales)):103 S2_2_new = [[]] * len(info_data_id)104 MSE = 0105 for j in range(0, len(info_data_sales[i])):106 if j == 0:107 S2_2_new[i].append(float(a[i]) * float(S2_1_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S2_2[i][j]))108 else:109 S2_2_new[i].append(float(a[i]) * float(S2_1_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(110 S2_2_new[i][j - 1])) ##計算二次指數的值111 MSE = (int(S2_2_new[i][j]) - int(info_data_sales[i][j])) ** 2 + MSE112 MSE = (MSE ** (1 / 2)) / int(len(info_data_sales[i]))113 info_MSE.append(MSE)114 S2_2_new1.append(S2_2_new[i])115 # print(S2_2_new1)116 # print(len(S2_2_new1[i]))117 118 ##下面是計算At、Bt以及每個預估值Xt的值，直接計算預估值，不一一列舉Xt的值了119 u = input('你要預估多少期？')120 Xt = []121 for i in range(0, len(info_data_sales)):122 At = (float(S2_1_new1[i][len(S2_1_new1[i]) - 1]) * 2 - float(S2_2_new1[i][len(S2_2_new1[i]) - 1]))123 Bt = (float(a[i]) / (1 - float(a[i])) * (124 float(S2_1_new1[i][len(S2_1_new1[i]) - 1]) - float(S2_2_new1[i][len(S2_2_new1[i]) - 1])))125 Xt.append(At + Bt * int(u))126 print('第' + str(i + 1) + '組的二次平滑預估值爲:' + str(Xt[i]) + '；均方誤差爲：' + str(info_MSE[i]))127 128 if judge == '3':129 ##############################下面是計算St(3)下面寫爲S3_t_######################################130 print('你選擇了三次指數平滑預測')131 S3_1 = []132 S3_2 = []133 S3_3 = []134 for m in range(0, len(info_data_id)):135 S3_1_empty = []136 x = 0137 for n in range(0, 3):138 x = x + float(info_data_sales[m][n])139 x = x / 3140 S3_1_empty.append(x)141 S3_1.append(S3_1_empty)142 S3_2.append(S3_1_empty)143 S3_3.append(S3_1_empty)144 # print(S3_1)145 a = [] ##這是用來存放阿爾法的數組146 info_MSE = [] ##計算均方誤差來得到最優的a(阿爾法)147 for i in range(0, len(info_data_sales)):148 v = float(input('請輸入第' + str(i + 1) + '組數據的a：'))149 a.append(v)150 151 ##下面是計算一次指數平滑的值152 S3_1_new1 = []153 for i in range(0, len(info_data_sales)):154 S3_1_new = [[]] * len(info_data_id)155 for j in range(0, len(info_data_sales[i])):156 if j == 0:157 S3_1_new[i].append(158 float(a[i]) * float(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S3_1[i][j]))159 else:160 S3_1_new[i].append(float(a[i]) * float(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(161 S3_1_new[i][j - 1])) ##計算一次指數的值162 S3_1_new1.append(S3_1_new[i])163 164 ##下面是計算二次指數平滑的值165 S3_2_new1 = []166 info_MSE = [] ##計算均方誤差來得到最優的a(阿爾法)167 for i in range(0, len(info_data_sales)):168 S3_2_new = [[]] * len(info_data_id)169 for j in range(0, len(info_data_sales[i])):170 if j == 0:171 S3_2_new[i].append(float(a[i]) * float(S3_1_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S3_2[i][j]))172 else:173 S3_2_new[i].append(float(a[i]) * float(S3_1_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(174 S3_2_new[i][j - 1])) ##計算二次指數的值175 S3_2_new1.append(S3_2_new[i])176 177 ##下面是計算二次指數平滑的值178 S3_3_new1 = []179 info_MSE = [] ##計算均方誤差來得到最優的a(阿爾法)180 for i in range(0, len(info_data_sales)):181 S3_3_new = [[]] * len(info_data_id)182 MSE = 0183 for j in range(0, len(info_data_sales[i])):184 if j == 0:185 S3_3_new[i].append(float(a[i]) * float(S3_2_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S3_3[i][j]))186 else:187 S3_3_new[i].append(float(a[i]) * float(S3_2_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(188 S3_3_new[i][j - 1])) ##計算三次指數的值189 MSE = (int(S3_3_new[i][j]) - int(info_data_sales[i][j])) ** 2 + MSE190 MSE = (MSE ** (1 / 2)) / int(len(info_data_sales[i]))191 info_MSE.append(MSE)192 S3_3_new1.append(S3_3_new[i])193 # print(S3_3_new1)194 195 ##下面是計算At、Bt、Ct以及每個預估值Xt的值，直接計算預估值，不一一列舉Xt的值了196 u = input('你要預估多少期？')197 Xt = []198 for i in range(0, len(info_data_sales)):199 At = (200 float(S3_1_new1[i][len(S3_1_new1[i]) - 1]) * 3 - float(S3_2_new1[i][len(S3_2_new1[i]) - 1]) * 3 + float(201 S3_3_new1[i][len(S3_3_new1[i]) - 1]))202 Bt = ((float(a[i]) / (2 * ((1 - float(a[i])) ** 2))) * ((6 - 5 * float(a[i])) * (203 float(S3_1_new1[i][len(S3_1_new1[i]) - 1]) - 2 * (5 - 4 * float(a[i])) * float(204 S3_2_new1[i][len(S3_2_new1[i]) - 1]) + (4 - 3 * float(a[i])) * float(205 S3_3_new1[i][len(S3_3_new1[i]) - 1]))))206 Ct = (((float(a[i])) ** 2) / (2 * ((1 - float(a[i])) ** 2))) * (207 float(S3_1_new1[i][len(S3_1_new1[i]) - 1]) - float(S3_2_new1[i][len(S3_2_new1[i]) - 1])*2 + float(208 S3_3_new1[i][len(S3_3_new1[i]) - 1]))209 Xt.append(At + Bt * int(u) + Ct * (int(u) ** 2))210 print('第' + str(i + 1) + '組的三次平滑預估值爲:' + str(Xt[i]) + '；均方誤差爲：' + str(info_MSE[i]))
