Swift學習—— 求Fibonacci數列

參考自：http://www.cnblogs.com/python27/archive/2011/11/25/2261980.html

題目：定義Fibonacci數列如下：

分析1：看到斐波那契數列幾乎所有的程序員在第一時間的反應都是“遞歸”，沒錯了，作爲和漢諾塔一樣的經典遞歸問題，我們幾乎毫不猶豫就可以寫出如下的代碼：

func fibonacci_1(index:Int)->Int{
    if index == 0{
        return 0
    }
    else if index == 1{
        return 1
    }
    else
    {
        return fibonacci_1(index-1)+fibonacci_1(index-2)
    }
}

分析2：既然上面算法的主要缺點是要重複的計算很多不必要的數值，那麼我們的想法是不計算那些重複的值，我們考慮對於任意一個N值，我們從第一項開始，不斷的累積下去，這樣就可以避免重複計算。由於是從第一項逐次求解，所以該算法的時間複雜度爲O(n)。代碼如下：

func fibonacci_2(index:Int)->Int{
    if index == 0{
        return 0
    }
    else if index == 1{
        return 1
    }
    else
    {
        var firstNum:Int = 0
        var secondNum:Int = 1
        var count = 1
        var fib = 0
        while count < index
        {
            fib = firstNum + secondNum
            firstNum = secondNum
            secondNum = fib
            ++count
        }
        return fib
    }
}

分析3：最後介紹一種效率最高的算法O(logn)，首先我們有下面的數學公式：

我們可以用數學歸納法證明如下：

Step1: n=2時

Step2：設n=k時，公式成立，則有：

等式兩邊同乘以[1,1;1,0]矩陣可得：

左=右，這正是n=k+1時的形式，即當n=k+1時等式成立。

由Step1和Step2可知，該數學公式成立。

由此可以知道該問題轉化爲計算右邊矩陣的n-1冪問題。

我們利用分治的算法思想可以考慮如下求解一個數A的冪。

實現這種算法需要定義矩陣，以及矩陣的有關運算，具體代碼如下：

//定義一個矩陣結構體
struct Matrix2by2 {
    var m00:Int
    var m01:Int
    var m10:Int
    var m11:Int
    init(m_00:Int, m_01:Int, m_10:Int, m_11:Int){
        self.m00 = m_00
        self.m01 = m_01
        self.m10 = m_10
        self.m11 = m_11
    }
    
}

//定義2X2矩陣的乘法運算
func matrixMultiply(matrix1:Matrix2by2, matrix2:Matrix2by2)->Matrix2by2{
    var matrix12:Matrix2by2 = Matrix2by2(m_00: 1, m_01: 1, m_10: 1, m_11: 0)
    matrix12.m00 = matrix1.m00 * matrix2.m00 + matrix1.m01 * matrix2.m10
    matrix12.m01 = matrix1.m00 * matrix2.m01 + matrix1.m01 * matrix2.m11
    matrix12.m10 = matrix1.m10 * matrix2.m00 + matrix1.m11 * matrix2.m10
    matrix12.m11 = matrix1.m10 * matrix2.m01 + matrix1.m11 * matrix2.m11
    return matrix12
}

//定義2X2矩陣的冪運算
func matrixPower(n:Int)->Matrix2by2{
    var matrix:Matrix2by2 = Matrix2by2(m_00: 1, m_01: 1, m_10: 1, m_11: 0)
    if n == 1{
        matrix = Matrix2by2(m_00: 1, m_01: 1, m_10: 1, m_11: 0)
    }
    else if n % 2 == 0{
        matrix = matrixPower(n/2)
        matrix = matrixMultiply(matrix, matrix)
    }
    else if n % 2 == 1{
        matrix = matrixPower((n-1) / 2)
        matrix = matrixMultiply(matrix, matrix)
        matrix = matrixMultiply(matrix, Matrix2by2(m_00: 1, m_01: 1, m_10: 1, m_11: 0))
    }
    return matrix
}

func fibonacci_3(index:Int)->Int{
    if index == 0{
        return 0
    }
    else if index == 1{
        return 1
    }
    else{
        var fibMatrix:Matrix2by2 = matrixPower(index-1)
        return fibMatrix.m00
    }
}