紅黑樹（刪除）

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相對於紅黑樹插入操作，刪除操作複雜的多。

第一：先看最簡單情況，即刪除紅色節點。刪除紅色節點，不影響紅黑樹平衡性質，如圖：

 

只需要刪除紅色節點，不需要進行調整，因爲不影響紅黑樹的性質。  黑色節點沒有增多也沒有減少。

注意：以下幾種單支情況在平衡的紅黑樹中不可能出現。

因爲上述的情況，紅黑樹處於不平衡狀態。（破壞到null，黑色節點數目相同）

所以，平衡狀態下紅黑樹要麼單支黑-紅，要麼有兩個子節點。

第二：刪除單支黑節點

        

此種情況被包含在“第三”中，詳見“第三”分析

第三：若刪除節點有左右兩個兒子，即左右子樹，需要按照二叉搜索樹的刪除規律，從右子樹中找最小的替換刪除節點（該節點至多有一個右子樹，

無左子樹），我們將該節點記爲y， 將刪除節點記爲z，將y的右兒子記爲x（可能爲空）。

刪除規則：用y替換z，交換y與z顏色，同時y = z，改變y的指向，讓y指向最終刪除節點。

爲了便於理解，可以先這樣假設：將y與z的數據交換，但顏色不交換，這樣，實際相當於將刪除轉移到了y節點，而z處保持原先狀態（處於平衡）。

此時可以完全不用了理會z節點，直接刪除y節點即可。因爲y最多隻有一個右子樹，無左子樹，這便轉移到了“第二”。

對於刪除y節點，有幾種考慮。

  1. 若y爲紅色，則這種情況如上述”第一“所述，並不影響平衡性。（null視爲黑色）

  2. 若y爲黑色，則刪除y後，x替換了y的位置，這樣x子樹相對於兄弟節點w爲根的子樹少了一個黑節點，影響平衡，需要進行調整。

 

     剩下的調整工作就是將x子樹中找一合適紅色節點，將其置黑，使得x子樹與w子樹達到平衡。

     若x爲紅色，直接將x置爲黑色，即可達到平衡；

   

      若x爲黑色，則分下列幾種情況。

     

      情況1：x的兄弟w爲紅色，則w的兒子必然全黑，w父親p也爲黑。

     

       改變p與w的顏色，同時對p做一次左旋，這樣就將情況1轉變爲情況2,3,4的一種。

      情況2：x的兄弟w爲黑色，x與w的父親顏色可紅可黑。

      

       因爲x子樹相對於其兄弟w子樹少一個黑色節點，可以將w置爲紅色，這樣，x子樹與w子樹黑色節點一致，保持了平衡。

      new x爲x與w的父親。new x相對於它的兄弟節點new w少一個黑色節點。如果new x爲紅色，則將new x置爲黑，則整棵樹平衡。否則，

      情況2轉換爲情況1,3,4  情況2轉變爲情況1,2,3,4.

      情況3：w爲黑色，w左孩子紅色，右孩子黑色。

     

       交換w與左孩子的顏色，對w進行右旋。轉換爲情況4

       情況4：w爲黑色，右孩子爲紅色。

      

        交換w與父親p顏色，同時對p做左旋。這樣左邊缺失的黑色就補回來了，同時，將w的右兒子置黑，這樣左右都達到平衡。

       個人認爲這四種狀況比較難以理解，總結了一下。情況2是最好理解的，減少右子樹的一個黑色節點，使x與w平衡，將不平衡點上移至x與w的父親。

       進行下一輪迭代。情況1：如果w爲紅色，通過旋轉，轉成成情況1,2,3進行處理。而情況3轉換爲情況4進行處理。也就是說，情況4是最接近最終解

       的情況。情況4：右兒子是紅色節點，那麼將缺失的黑色交給右兒子，通過旋轉，達到平衡。

       看一下STL的紅黑樹刪除調整操作 

if (y->color != __rb_tree_red) {
    while (x != root && (x == 0 || x->color == __rb_tree_black))
      if (x == x_parent->left) {
        __rb_tree_node_base* w = x_parent->right;
        //情況1
        if (w->color == __rb_tree_red) {
          w->color = __rb_tree_black;
          x_parent->color = __rb_tree_red;
          __rb_tree_rotate_left(x_parent, root);
          w = x_parent->right;
        }
        //情況2
        if ((w->left == 0 || w->left->color == __rb_tree_black) &&
            (w->right == 0 || w->right->color == __rb_tree_black)) {
          w->color = __rb_tree_red;
          x = x_parent;
          x_parent = x_parent->parent;
        }
        else
        {
          //情況3
          if (w->right == 0 || w->right->color == __rb_tree_black) {
            if (w->left) w->left->color = __rb_tree_black;
            w->color = __rb_tree_red;
            __rb_tree_rotate_right(w, root);
            w = x_parent->right;
          }
          //情況4
          w->color = x_parent->color;
          x_parent->color = __rb_tree_black;
          if (w->right) w->right->color = __rb_tree_black;
          __rb_tree_rotate_left(x_parent, root);
          break;
        }
      }
      if (x) x->color = __rb_tree_black;
    }

只截取了平衡調整部分的代碼，且省略在右側刪除的情況。