SVM 詳解3

SVM入門（五）線性分類器的求解——問題的描述Part2

從最一般的定義上說，一個求最小值的問題就是一個優化問題（也叫尋優問題，更文縐縐的叫法是規劃——Programming），它同樣由兩部分組成，目標函數和約束條件，可以用下面的式子表示：

（式1）

約束條件用函數c來表示，就是constrain的意思啦。你可以看出一共有p+q個約束條件，其中p個是不等式約束，q個等式約束。

關於這個式子可以這樣來理解：式中的x是自變量，但不限定它的維數必須爲1（視乎你解決的問題空間維數，對我們的文本分類來說，那可是成千上萬啊）。要求f(x)在哪一點上取得最小值（反倒不太關心這個最小值到底是多少，關鍵是哪一點），但不是在整個空間裏找，而是在約束條件所劃定的一個有限的空間裏找，這個有限的空間就是優化理論裏所說的可行域。注意可行域中的每一個點都要求滿足所有p+q個條件，而不是滿足其中一條或幾條就可以（切記，要滿足每個約束），同時可行域邊界上的點有一個額外好的特性，它們可以使不等式約束取得等號！而邊界內的點不行。

關於可行域還有個概念不得不提，那就是凸集，凸集是指有這麼一個點的集合，其中任取兩個點連一條直線，這條線上的點仍然在這個集合內部，因此說“凸”是很形象的（一個反例是，二維平面上，一個月牙形的區域就不是凸集，你隨便就可以找到兩個點違反了剛纔的規定）。

回頭再來看我們線性分類器問題的描述，可以看出更多的東西。

（式2）

在這個問題中，自變量就是w，而目標函數是w的二次函數，所有的約束條件都是w的線性函數（哎，千萬不要把x_i當成變量，它代表樣本，是已知的），這種規劃問題有個很有名氣的稱呼——二次規劃（Quadratic Programming，QP），而且可以更進一步的說，由於它的可行域是一個凸集，因此它是一個凸二次規劃。

一下子提了這麼多術語，實在不是爲了讓大家以後能向別人炫耀學識的淵博，這其實是我們繼續下去的一個重要前提，因爲在動手求一個問題的解之前（好吧，我承認，是動計算機求……），我們必須先問自己：這個問題是不是有解？如果有解，是否能找到？

對於一般意義上的規劃問題，兩個問題的答案都是不一定，但凸二次規劃讓人喜歡的地方就在於，它有解（教科書裏面爲了嚴謹，常常加限定成分，說它有全局最優解，由於我們想找的本來就是全局最優的解，所以不加也罷），而且可以找到！（當然，依據你使用的算法不同，找到這個解的速度，行話叫收斂速度，會有所不同）

對比（式2）和（式1）還可以發現，我們的線性分類器問題只有不等式約束，因此形式上看似乎比一般意義上的規劃問題要簡單，但解起來卻並非如此。

因爲我們實際上並不知道該怎麼解一個帶約束的優化問題。如果你仔細回憶一下高等數學的知識，會記得我們可以輕鬆的解一個不帶任何約束的優化問題（實際上就是當年背得爛熟的函數求極值嘛，求導再找0點唄，誰不會啊？笑），我們甚至還會解一個只帶等式約束的優化問題，也是背得爛熟的，求條件極值，記得麼，通過添加拉格朗日乘子，構造拉格朗日函數，來把這個問題轉化爲無約束的優化問題云云（如果你一時沒想通，我提醒一下，構造出的拉格朗日函數就是轉化之後的問題形式，它顯然沒有帶任何條件）。

讀者問：如果只帶等式約束的問題可以轉化爲無約束的問題而得以求解，那麼可不可以把帶不等式約束的問題向只帶等式約束的問題轉化一下而得以求解呢？

聰明，可以，實際上我們也正是這麼做的。下一節就來說說如何做這個轉化，一旦轉化完成，求解對任何學過高等數學的人來說，都是小菜一碟啦。

摘自http://www.blogjava.net/zhenandaci/archive/2009/02/14/254630.html