1、数学推导
1.1 向量叉乘
- 在数学和向量代数领域,叉积(英语:Cross product)又称向量积(英语:Vector product),是对三维空间中的两个向量的二元运算,使用符号 。与点积不同,它的运算结果是向量。对于线性无关的两个向量 和 ,它们的叉积写作 ,是 和 所在平面的法线向量,与 和 都垂直。叉积被广泛运用于数学、物理、工程学、计算机科学领域。
- 叉积和点积一样依赖于欧几里德空间的度量,但与点积之不同的是,叉积还依赖于定向或右手定则。
- 两个向量 和 的叉积仅在三维空间中有定义,写作 。在物理学中,叉积有时也被写成 ,但在数学中是外代数中的外积。
- 叉积 是与 和都垂直的向量 。其方向由右手定则决定,模长等于以两个向量为边的平行四边形的面积。
- 叉积可以定义为:
其中 表示 和 在它们所定义的平面上的夹角( )
三维座标相乘:
叉积表示:
求导:
1.2 数学推算
- 由上推算可知,叉积表示:
(1-1)
其中为向量的反对称矩阵 - 对于,𝑋为三维空间点在世界座标系下的齐次座标,和为世界座标系到相机座标系的变换。和 为归一化平面座标,为深度值,有:
=> => (1-2) - 将(1-1)带入(1-2)展开有:
(1-3) - 其中,第一行 叉乘(-u),第二行叉乘(-v),二者相加,可得到第三行,因此,其线性相关,保留前两行即可,有:
- 因此,已知一个归一化平面座标和变化,可以构建两个关于X的线性方程组,有两个以上的图像观测,即可求出X:
- 上述方程没有非零解,使用SVD求最小二乘解,解可能不满足齐次座标形式(第四个元素为1), 齐次座标 X 即为H的最小奇异值的奇异向量。(SVD好重要–直接线性变换DLT都用到它求解)
因此, - 求得空间点座标,但是这个解几何意义不明确[1],属于代数最小误差解。不等价于最小重投影误差,也不是最小化3D点距离误差。
- 在VINS-Mono中给出了归一化平面座标,如果只是给出像素座标,并且已知相机内参𝐾,求解3D点座标方式类似。
=> => =>
2、代码实现
2.1 VINS-Mono 三角化
//三角化两帧间某个对应特征点的深度
void GlobalSFM::triangulatePoint(Eigen::Matrix<double, 3, 4> &Pose0, Eigen::Matrix<double, 3, 4> &Pose1,
Vector2d &point0, Vector2d &point1, Vector3d &point_3d)
{
Matrix4d design_matrix = Matrix4d::Zero();
design_matrix.row(0) = point0[0] * Pose0.row(2) - Pose0.row(0);
design_matrix.row(1) = point0[1] * Pose0.row(2) - Pose0.row(1);
design_matrix.row(2) = point1[0] * Pose1.row(2) - Pose1.row(0);
design_matrix.row(3) = point1[1] * Pose1.row(2) - Pose1.row(1);
Vector4d triangulated_point;
triangulated_point =
design_matrix.jacobiSvd(Eigen::ComputeFullV).matrixV().rightCols<1>();
point_3d(0) = triangulated_point(0) / triangulated_point(3);
point_3d(1) = triangulated_point(1) / triangulated_point(3);
point_3d(2) = triangulated_point(2) / triangulated_point(3);
}
2.2 orb-slam 三角化
void Initializer::Triangulate(const cv::KeyPoint &kp1, const cv::KeyPoint &kp2, const cv::Mat &P1, const cv::Mat &P2, cv::Mat &x3D)
{
cv::Mat A(4,4,CV_32F);
A.row(0) = kp1.pt.x*P1.row(2)-P1.row(0);
A.row(1) = kp1.pt.y*P1.row(2)-P1.row(1);
A.row(2) = kp2.pt.x*P2.row(2)-P2.row(0);
A.row(3) = kp2.pt.y*P2.row(2)-P2.row(1);
cv::Mat u,w,vt;
cv::SVD::compute(A,w,u,vt,cv::SVD::MODIFY_A| cv::SVD::FULL_UV);
x3D = vt.row(3).t();
cout<<"vt.row()"<<vt.rows<<std::endl;
x3D = x3D.rowRange(0,3)/x3D.at<float>(3);///
}
2.3 Triangulate
void triangulate ( const Eigen::Matrix3d& K,
const Eigen::Matrix4d T1, const Eigen::Matrix4d& T2,
const Eigen::Vector2d& uu1, const Eigen::Vector2d& uu2,
Eigen::Vector4d& X )
{
// construct P1 P2
const Eigen::Matrix<double, 3, 4> P1 = K * T1.block(0,0, 3, 4);
const Eigen::Matrix<double, 3, 4> P2 = K * T2.block(0, 0, 3, 4);
// get vectors
const Eigen::Matrix<double, 1, 4>& P11 = P1.block(0, 0, 1, 4);
const Eigen::Matrix<double, 1, 4>& P12 = P1.block(1, 0, 1, 4);
const Eigen::Matrix<double, 1, 4>& P13 = P1.block(2, 0, 1, 4);
const Eigen::Matrix<double, 1, 4>& P21 = P2.block(0, 0, 1, 4);
const Eigen::Matrix<double, 1, 4>& P22 = P2.block(1, 0, 1, 4);
const Eigen::Matrix<double, 1, 4>& P23 = P2.block(2, 0, 1, 4);
const double& u1 = uu1[0];
const double& v1 = uu1[1];
const double& u2 = uu2[0];
const double& v2 = uu2[1];
// construct H matrix.
Eigen::Matrix4d H;
H.block(0, 0, 1, 4) = v1 * P13 - P12;
H.block(1, 0, 1, 4) = P11 - u1 * P13;
H.block(2, 0, 1, 4) = v2 * P23 - P22;
H.block(3, 0, 1, 4) = P21 - u2 * P23;
// SVD
Eigen::JacobiSVD<Eigen::MatrixXd> svd ( H, Eigen::ComputeFullU | Eigen::ComputeFullV );
Eigen::Matrix4d V = svd.matrixV();
X = V.block(0, 3, 4, 1);
X = X / X(3, 0);
} // triangulate