最長遞增子序列

(1) 最長公共子序列法：排序後與原數組的最長公共子序列。

(2) 動態規劃法：（時間複雜度O(N^2)）

設長度爲N的數組爲{a0，a1, a2, ...an-1)，則假定以aj結尾的數組序列的最長遞增子序列長度爲L(j)，則L(j)={ max{1,L(i)+1}, i<j且a[i]<a[j] }。也就是說，我們需要遍歷在j之前的所有位置i(從0到j-1)，找出滿足條件a[i]<a[j]的L(i)，求出max(L(i))+1即爲L(j)的值。最後，我們遍歷所有的L(j)（從0到N-1），找出最大值即爲最大遞增子序列。時間複雜度爲O(N^2)。
例如給定的數組爲{5，6，7，1，2，8}，則L(0)=1, L(1)=2, L(2)=3, L(3)=1, L(4)=2, L(5)=4。所以該數組最長遞增子序列長度爲4，序列爲{5，6，7，8}。算法代碼如下：

int lis(int arr[], int len)
{
    int longest[len];
    for (int j = 1; j < len; j++)
    {
　　     longest[i] = 1;
        for (int i = 0; i < j; i++)
        {
            if (arr[j] > arr[i] && longest[j] < longest[i] + 1)
            {
                longest[j] = longest[i] + 1;
            }
        }
    }

    int max = 0;
    for (int i = 0; i < len; i++)
    {
        if (longest[i] > max)
            max = longest[i];
    }
    return max;
}

(3) O(NlgN）算法

假設存在一個序列d[1..9] ={ 2，1 ，5 ，3 ，6，4， 8 ，9， 7}，可以看出來它的LIS長度爲5。
下面一步一步試着找出它。
我們定義一個序列B，然後令 i = 1 to 9 逐個考察這個序列。
此外，我們用一個變量Len來記錄現在最長算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B裏，令B[1] = 2，就是說當只有1一個數字2的時候，長度爲1的LIS的最小末尾是2。這時Len=1

然後，把d[2]有序地放到B裏，令B[1] = 1，就是說長度爲1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已經沒用了，很容易理解吧。這時Len=1

接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是說長度爲2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。這時候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再來，d[4] = 3，它正好加在1,5之間，放在1的位置顯然不合適，因爲1小於3，長度爲1的LIS最小末尾應該是1，這樣很容易推知，長度爲2的LIS最小末尾是3，於是可以把5淘汰掉，這時候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

繼續，d[5] = 6，它在3後面，因爲B[2] = 3, 而6在3後面，於是很容易可以推知B[3] = 6, 這時B[1..3] = 1, 3, 6，還是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6個, d[6] = 4，你看它在3和6之間，於是我們就可以把6替換掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len繼續等於3

第7個, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。於是B[4] = 8。Len變成4了

第8個, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len繼續增大，到5了。

最後一個, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之間，所以我們知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

於是我們知道了LIS的長度爲5。

注意，這個1,3,4,7,9不是LIS，它只是存儲的對應長度LIS的最小末尾。有了這個末尾，我們就可以一個一個地插入數據。雖然最後一個d[9] = 7更新進去對於這組數據沒有什麼意義，但是如果後面再出現兩個數字 8 和 9，那麼就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的長度爲6。

然後應該發現一件事情了：在B中插入數據是有序的，而且是進行替換而不需要挪動——也就是說，我們可以使用二分查找，將每一個數字的插入時間優化到O(logN)~~~~~於是算法的時間複雜度就降低到了O(NlogN)～！
代碼如下（代碼中的數組B從位置0開始存數據）：

int LIS(int arr[], int n)
{
    B[0] = arr[0];
    int len = 1;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        if (arr[i] > B[len-1])
        {
            B[len] = arr[i];
            len++;
        }
        else
        {
            int pos = bsearch(B, len, array[i]);
            B[pos] = array[i];
        }
    }
    return len;
}

int bsearch(int b[], int len, int w)
{
    int left = 0;
    int right = len - 1;
    while (left <= right)
    {
        int pos = left + (right-left)/2;
        if (b[pos] > w)
            right = pos - 1;
        else if (b[pos] < w)
            left = pos + 1;
        else
            return pos;
    }
    return left;
}