經典OFDM原理解析，原文地址： http://bbs.c114.net/forum.php?mod=viewthread&tid=688171&page=1&authorid=854560
各位通信戰友，好久不見~ 一別數月，感謝大家這段時間對本貼的支持，看到那麼多留言和回覆，筆者也十分感動。春節期間沒來得及跟大家問聲好，就借用韓喬生老師的話吧：“端午節剛過，我給大家拜個晚年！”。
都說這個冬天是通信業的寒冬，不知道大家的冬天過的怎麼樣？不管怎麼說，春天的腳步已經臨近，又到了...咳咳，“學習”的季節，讓我們繼續努力吧。
承蒙大家對“MIMO技術雜談”前三章的支持，筆者收到了戰友們很多反饋。其中有很多朋友問起了OFDM技術，也提到了爲什麼OFDM要和MIMO結合使用。恕筆者分身乏術，沒有辦法一一回答大家的問題。所以筆者決定再開一貼，跟戰友們聊聊OFDM那些事，一來是兌現“續寫”的承諾，二來這裏面有一些思想還是很有意思的，筆者願與戰友們分享。筆者能力有限，若有不對的地方，歡迎大家指正，我們一起學習，一起進步~
OFDM話題的篇幅比較長，考慮到之前三篇文章也挺長，大家對着屏幕讀起來比較費勁，所以筆者決定適當縮短每篇的篇幅，分三次說完OFDM吧。以後每週就不另開新帖，直接在這篇帖子裏更新了。閒話不多說，我們開聊：
OFDM那些事
在動筆之前，筆者百度了一下OFDM的定義。在百度百科中，找到了如下描述：
“OFDM(Orthogonal Frequency Division Multiplexing)即正交頻分複用技術，其主要思想是：將信道分成若干正交子信道，將高速數據信號轉換成並行的低速子數據流，調製到在每個子信道上進行傳輸。正交信號可以通過在接收端採用相關技術來分開，這樣可以減少子信道之間的相互干擾 ICI 。每個子信道上的信號帶寬小於信道的相關帶寬，因此每個子信道上的可以看成平坦性衰落，從而可以消除符號間干擾。而且由於每個子信道的帶寬僅僅是原信道帶寬的一小部分，信道均衡變得相對容易。”
嗯，這個定義寫的很全面，這麼好的材料，不放到畢設論文的背景介紹中，實在是太可惜了。其實OFDM的原理就是這樣，樓主的講解就到此結束吧，謝謝大家~
哎喲，哪裏丟來的臭雞蛋？還有板磚！*&%……%￥#@@！…
呵呵，跟大家開個玩笑。其實讀了上面的描述後，我們一定還有很多的疑問：什麼叫“正交子信道”？怎麼做才能“把高速數據信號轉換成並行的低速子數據流”？爲什麼“子信道上的信號帶寬小於信道的相關帶寬時，可以消除符號間干擾”？而“相關帶寬”、“符號間干擾”又是什麼呢？
在接下來的幾篇文章中，我們就來一起探究這些問題。今天，我們先做個“熱身”。既然OFDM可以消除符號間干擾（ISI，Inter-Symbol
Interference），我們就來看看什麼是符號間干擾。
想象下面的場景：一個男孩和一個女孩隔山相望。男孩要向女孩表白，喊出那攝人心魄的三個字。在他們遠處，有另一座大山，能夠將他們的喊話形成回聲。就是說，男孩喊出的話，會經過兩條路徑傳到女孩的耳朵裏，一個原聲，一個回聲。當女孩聽到男孩喊出的“我”字的時候，“我”字的迴音還在路上。然而下一時刻，當“愛”字的原音到達女孩那裏時，“我”字的迴音恰好也到了。兩個聲音同時到達，混在了一起。我們假設“我”和“愛”兩個音混在一起會形成“討”字的音（這個假設實在是太壞了）。所以這一時刻，女孩聽到的是“討”字。同樣，再下一時刻，女孩會聽到“你”字的原音和“愛”字的迴音混疊在一起的聲音，假設這次她聽到的是“厭”字。最後，女孩聽到
了“你”字的迴音，轉身就走了。
圖1 “迴音”的例子
好好的一句“我愛你”卻因爲回聲的存在，被活活“翻譯”成了“我討厭你”，讓相愛變成了分手。在現實無線通信中，“符號間干擾”就扮演着“回聲”的角色。在發送端和接收端之間，常常存在着不止一處的反射物，發出的信號經過這些物體的反射、折射，會經過不同的路徑到達接收端，也就是我們常說的“多徑傳播”。路徑不同，傳播的距離自然不同，信號到達接收端的時間也就不盡相同。如果這一時刻發出的符號因爲多徑，延遲到了下一時刻纔到達，就會與下一時刻的符號發生混疊，造成符號無法正確解出，這就是“符號間干擾”，也叫“碼間串擾”。
通過上面簡單的例子，我們已經感性的瞭解了“回聲”干擾“原聲”的成因。而且也能直觀的感覺到，要想避免兩個聲音的干擾，男孩只要放慢喊話的速度就好了，等一個字的所有回聲都傳遞到了女孩耳朵裏，再喊出第二個。這樣一來，女孩聽到的就是“我，我…，愛，愛…，你，你…”，無非是多聽了幾個重複的字而已，不會因爲出現字和字之間的干擾而造成誤會。但是，我們回看百科中OFDM的定義，卻發現它是這麼寫的：“當信號帶寬小於信道的相關帶寬時，可以消除符號間干擾”。我們已經找到了從時間上避免符號間干擾的方法，那麼，它和“信號帶寬”，“相關帶寬”之間又是什麼關係呢？
不要忘了帶寬的單位是赫茲（Hz），而赫茲代表的數學含義是秒分之一（1/s）,就是一秒鐘發生的次數。所以當我們說一個信號的帶寬是10Hz，從離散域來看，可以理解爲每秒有10個採樣點，換句話說，每隔0.1秒，就會到來一個採樣符號。現在我們把帶寬的意義轉換到時間域，再來解釋碼間串擾發生的條件，就好理解許多。既然每隔0.1秒就會到來一個符號，那麼如果多徑造成的最大時延小於這0.1秒，自然不會對下一個符號形成干擾；但如果多徑時延大於了0.1秒，就會引起碼間串擾。碼間串擾發生的條件，就和多徑時延對應上了。而這0.1秒，就是碼間串擾發生的臨界條件。
圖2 “碼間串擾”的形成條件
我們不妨假設時延恰好在符號發出0.1秒後到達，這樣，時延發生的頻率，也是10Hz，而“時延的頻率（準確的說是最大時延的頻率）”就是“相關帶寬”。顯而易見，當“相關帶寬”等於“信號帶寬”時，恰好會發生碼間串擾。如果時延很短，比如0.01秒後就到達，對應的“相關帶寬”是100Hz，大於“信號帶寬”，碼間串擾就不會發生；如果時延很長，在符號發出後0.2秒纔到達，“相關帶寬”是5Hz，小於“信號帶寬”，碼間串擾將不可避免。
圖3 具有多徑時延的傳播環境
有了這些基本概念，我們重新考慮一下之前找到的從時域上規避碼間串擾的方法。依然假設信號的帶寬是10Hz，這次假設有兩個反射體，分別將信號延時0.1秒和0.2秒。我們可以設計這樣的發送策略，即每隔0.2秒才發出一個新符號，這樣，前一個符號就不會對下一個符號造成干擾了。而且，每發出一個符號，我們可以在之後的0.1秒和0.2秒分別收到該符號的兩個副本，這不就相當於利用多徑做了一次“純天然”的分集麼？在“猶抱琵琶半遮面--MIMO信道中隱藏的祕密”中，我們提到過，如何充分利用各種資源，實現“變廢爲寶”，實乃一大學問。在這裏，原本討厭的多徑又一次幫了我們的忙，“免費的”對發送符號進行了分集處理（注，多徑帶來的分集，從本質上講，是一種“頻率分集”）。但是別忘了，天下沒有白吃的午餐，我們來仔細盤算一下享受免費“多徑分集”的背後，付出的代價是什麼。
圖4 頻率分集
爲了躲避碼間串擾，並且獲得多徑分集，我們每隔0.2秒（即每0.3秒）才發出一個符號，這不就相當於把原信號的帶寬從10Hz降到了約3.33Hz（1/0.3）麼。而相關帶寬是5Hz（1/0.2），哦，原來這種發送策略的實質是人爲的讓信號帶寬小於相關帶寬，來避免碼間串擾的發生啊。這麼做雖然能獲得一些分集增益，但原來每秒能傳10個符號，現在只能傳不到4個，犧牲了太多的系統速率，實在有些不划算。
圖5 躲避“碼間串擾”的代價
看來，要想在充分利用資源的條件下，還獲得分集增益，碼間串擾是想躲也躲不掉了。我們只有一條路可以走，那就是“幹掉”碼間串擾！下一回，我們就來看OFDM是怎麼消除碼間串擾的。
|
書接上回。上一篇我們說到了“碼間串擾”，還留下了一個問題，那就是如何在不降低信號帶寬的情況下，克服碼間串擾的影響，順便再獲得點“頻率分集”增益呢？今天我們就來聊聊這些話題。
 圖1多徑傳播環境
來看圖1描述的傳播環境，假設從發送方到接收方一共有三條傳播路徑，信道增益分別爲h1，h2和h3。其中路徑2和3分別會對信號延時1個和2個時刻。即，在第一時刻，接收方會收到經過直視徑到達的信號X1（不考慮噪聲）
：
Y1 = h1 × X1；
第二時刻，接收方收到來自直視徑的X2和經反射徑1延時到達的X1：
Y2 = h1 × X2 + h2 × X1；
可以看到，碼間串擾已經發生。同理，在第三時刻，接收方收到的信號是
Y3 = h1 × X3 + h2 × X2
+ h3 ×X1；
以此類推。熟悉“信號系統”的朋友一眼就看出來了，這其實就是輸入序列X=[X1，X2，X3…]與信道響應h=【h1 h2 h3
】做了一個卷積，Y = h * X。所以卷積是描述多徑傳播最漂亮的數學表達。但是卷積的表達式仍然太繁瑣，我們不妨來做一個轉換。
我們把上面描述的傳播環境想象成一個3發1收的MISO系統，那麼，上述3條多徑信道響應【h1 h2 h3
】就可以看成從3根發送天線分別到接收天線間的直視信道響應，如圖2所示。我們設計以下的發送策略：第一時刻，從天線1發送符號X1，這時，接收端收到的就是：
Y1 = h1 × X1；
第二時刻，從天線2發送X1，從天線1發送X2，接收信號是：
Y2 = h1 × X2 + h2 × X1；
第三時刻，從天線3發送X1，天線2發送X2，天線1發送X3，我們有：
Y3 = h1 × X3 + h2 × X2
+ h3 ×X1；
以此類推。很明顯，這與卷積的表達式一模一樣。現在我們把具有碼間串擾的多徑傳播環境轉換成了熟悉的多天線MISO系統，形式上比較好理解，更重要的是，我們可以使用多天線的技術來處理碼間串擾了。
 圖2將多徑傳播轉換成MISO系統
在着手“幹掉”碼間串擾之前，我們先來看一個有趣的例子，幫助我們直觀的理解消除碼間串擾時，所採用的思想。
正月十五，筆者和爸爸媽媽去看燈展。這次燈展，有三盞最漂亮的大花燈並排放在最顯眼的展臺上。筆者很想去展臺上和三盞燈合影，但參觀的人實在是太多了，管理員不得不做出以下規定：所有人排成一排，按順序從入口上展臺，每盞燈前面只能站一人，照完相後，從出口依次離開，每出去一人，就進來一人。
於是，筆者就去排隊了，爸爸媽媽在臺下給筆者照相。當某一時刻，筆者走上展臺，站在第一盞燈前的時候，其他燈前的遊客還沒有離開，筆者和三盞燈的合影就有了別人在旁邊“搶鏡”。同樣，在後面兩個時刻，有人出就有人進，筆者始終無法單獨和三盞燈來一次完美的合影，甚是鬱悶。
 圖3 筆者受到其他人干擾，無法和三盞燈合影
當然，這點小事難不倒筆者，我想，既然沒有辦法單獨和三盞燈合影，那麼與其身邊站着其他人，不如和自己人一起照。於是筆者把相機交給好心人，拉着爸爸媽媽一起去排隊了。這一次，雖然剛上展臺的時候，有遊客干擾，但是總有一個時刻，展臺上只有筆者和爸爸媽媽三人，我們開開心心的來了一張合影。
此時筆者玩心大發，一張合影還不滿足，筆者想分別站在三盞燈下，和爸爸媽媽來三張合影。於是筆者拉着爸爸媽媽又一次去排隊了。這次，當筆者站在第3盞燈下和爸爸媽媽完成第一張合影後，迅速從出口跑出，繞回入口，緊跟着媽媽再次登上展臺（可愛的管理員也不忍心阻止筆者的行動），這樣，筆者就在第一盞燈下，又來了一張合影；緊接着，筆者的爸爸也迅速繞回入口，跟在筆者後面再次上了展臺，就這樣，我們完成了分別在三盞燈下合影三次的願望。
  圖4 筆者和父母完成了合影的願望
看完上面的例子，大家是不是已經被筆者“繞”暈了？呵呵，沒關係，我們只要知道筆者是如何“擠”掉其他人，讓臺上只有我們三人，並且如何通過“循環”入場，獲得三次合影機會的，就可以了。因爲無線通信中，“幹掉”碼間串擾，用的也是這兩招：
（1）把連續多個符號看成一組，一起進行處理，“擠”開碼間串擾。這樣碼間串擾就只會發生在開頭和最後的幾個符號上，中間的都是“自己人”，不受影響。
（2）通過在這一組符號的開頭或最後設置“循環前綴”，幹掉碼間串擾。
我們把這兩招用數學語言，重新進行描述。仍然考慮開篇的傳播環境，這次我們把X1，X2，X3看成一組，並在前面加上“循環前綴”X2，X3，形成【X2，X3，X1，X2，X3
】。然後與信道響應【h1 h2 h3】進行卷積，過程如下：
 圖5 卷積過程和“燈盞”例子的類比
 圖6 卷積過程的矩陣表達
我們一共能得到7個時刻的方程，但最後兩個說的是本組符號對下一組符號造成的干擾，那就留給下一組符號去解決吧。我們只看前5個時刻。很明顯，碼間串擾發生在前兩個時刻Y1，Y2（信道矩陣中0元素的位置就是干擾符號出現的位置，因爲我們沒有把干擾符號寫進方程，所以該位置是0）。沒關係，受到干擾的符號我們刪掉，不要了。剩下三個時刻的方程，我們仔細一看，這不就是一個3發3收的MIMO傳輸方程麼？我們曾經把多徑傳播環境轉換成了MISO系統，現在又轉換成了MIMO系統！
 圖7 得到3x3 MIMO系統的過程
說到MIMO系統，我們太熟悉了，至少，我們也花了三大篇文章詳細的解釋過了。還記得“知己知彼，百戰不殆--信道信息的獲取和應用”中我們介紹的內容麼？MIMO系統的最佳傳輸矩陣是什麼？沒錯，是對角陣。怎樣才能獲得對角陣呢？對信道矩陣H進行SVD分解，得到H=U·S·V，其中S就是對角矩陣；接下來，就是用V的共軛轉置V*對發送信號進行“預編碼”，接收端在收到數據後，同樣乘以U*，這樣一來，發送的符號就像進入了獨立平行的正交子信道，互不干擾。（對這部分內容不熟悉的朋友可以在本論壇內找到“知己知彼，百戰不殆--信道信息的獲取和應用”。）
 圖8 MIMO雜談三中提到的預編碼過程
現在我們拿到了一個等效的3x3 MIMO傳輸系統，當然也可以按照上述過程來處理它。於是，我們對信道矩陣H進行SVD分解----此時此刻，本文最大的懸念就要揭曉了----注意矩陣H的特殊結構，因爲我們對發送數據添加了循環前綴，所以H的每一行就有一個“循環位移”，擁有這種“循環位移”結構的矩陣叫做“循環矩陣（Circulant
Matrix）”。循環矩陣的一個重要特性就是：對它進行SVD分解後，得到的左酉陣U是“逆傅里葉變換矩陣”（我們用W-1來表示，即U
= W-1）；而右酉陣V是“傅里葉變換矩陣”（V = W，注：一組數據乘以“傅里葉變換矩陣”，就相當於對該組數據進行了傅里葉變換，並且有W-1W=
WW-1=I）！
 圖9 循環矩陣的SVD分解
這就是說，如果我們對一組數據先進行 “逆傅里葉變換”，添加“循環前綴”，再送入多徑信道；接收端刪除掉受干擾的“循環前綴”後，做一個“傅里葉變換”，得到的數據就好像經過了獨立平行的正交子信道，彼此之間不受任何干擾。而整個這一套處理流程，不正是“OFDM”麼？呵呵，我們一整篇文章好像都在說MIMO，直到最後時刻才讓OFDM出場，OFDM同學一定等急了吧？
我們來梳理一下OFDM的處理流程：首先，對一組發送符號進行“逆傅里葉變換”--相當於MIMO系統中的“預編碼”；然後，添加“循環前綴”--爲的是讓傳輸矩陣H變成“循環矩陣”，最後送入多徑信道；接收端捨棄受到干擾的“循環前綴”--碼間串擾就這樣被幹掉了；再做一個“傅里葉變換”--相當於MIMO中對接收信號乘以U*；得到的符號就像經過了互不干擾的正交子信道。
 圖10 OFDM和MIMO的對比
通過這樣的類比，我們猛然發現，“原來OFDM其實也是MIMO啊”。兩者的區別在於：MIMO中，對信道H進行SVD分解，需要知道H具體內容；而在OFDM中，預編碼矩陣（即“逆傅里葉變換矩陣”）不依賴於H。筆者本來想把這句話寫在文章的開頭，害怕被拍磚，最後決定還是放在後面吧。不過讀到這裏，相信大家也跟筆者有了同樣的感受了吧？至少，我們從另一個角度詮釋了OFDM的意義。
順便一提，在“燈展”的例子中，筆者實現了在三盞燈下分別合影的願望，而在OFDM系統中，每個發送符號都和h1 h2 h3相乘過，就是說，我們還獲得了一定的“頻率分集增益”哦。
既然OFDM 與MIMO有如此深的淵源，而且本回中，並未介紹OFDM相關參數的含義，比如OFDM符號長度，子載波間距等。下一回，我們就來看看OFDM與MIMO聯合使用時，會有什麼效果？如果我們要設計一個OFDM系統，它的參數應該怎麼選取呢？
-------------------------------------------------------------------------------
閒話：OFDM是“多載波”技術的一種，在單載波系統中，如果要消除碼間串擾，就要用到著名的“維特比算法”。關於算法的具體步驟，本文不再贅述。在計算機和互聯網領域，維特比算法有着更廣泛的應用，比如“語音識別”，“中文輸入法”等。對互聯網技術感興趣的朋友也可以閱讀吳軍老師的“數學之美”。
|
