揹包問題之分枝界限

問題描述

    揹包的容量爲C，現有N件物品，價格分別爲p[0],p[1]......p[n-1].重量分別爲：w[0],w[1]......w[n-1].從N件物品中選擇任意個放入揹包中，使得物體的價值最大並且總重量不超過揹包的容量C。

       採用數學語言描述如下：

      在  w[0]*x[0] + w[1] *x[1]+....... +w[n-1]*x[n-1]  < C, x[i] = 0 或1 的條件下

      求  p[0]*x[0] + p[1] *x[1]+....... +p[n-1]*x[n-1]   的最大值。

 

 分枝界限介紹

   分枝界限可以說是dfs和bfs的結合，綜合了DFS算法空間複雜度低和BFS時間複雜度低的優點。分枝界限法在回溯法的基礎上更進了一步，在回溯法中，一旦從問題狀態空間樹導出的解不滿足約束函數，我們就將其分枝剪掉。在處理此類問題時，回溯法的思想可以進一步強化。在回溯法的基礎上加上兩個額外的條件就變成了分支界限法

           1.  對於一棵狀態空間樹的每一個結點所代表的部分解， 我們要提供一種算法，計算出通過這個部分解所繁衍也的任何解在目標函數

            上的最佳邊界。

            2. 目前所求得的最佳解。

   有了這兩個條件，我們可以用當前求得的最佳解和所有結點的最佳邊界比較，如果某結點的最佳邊界不能超越當前最佳解（在求最大化問題

中，該結點的最佳上界不大於當前最佳解，在求最小化問題中，該結點的最佳下界不小於當前最佳解），則將其剪掉。這就是分枝界限的主要相思。

 

 問題分析。

    在揹包問題中，怎樣求最佳邊界呢，最簡單的一種求法是將物品的按價值重量比（p[i]/w[i]）排序，將已經選擇好的物品總價值currentValue加上揹包剩餘重量C-currentWeight(currentWeight爲當前揹包中物品的總重量）與剩下物品最價值重量比（p[i]/w[i])的積:

                                   ub = currentValue + (C-currentWeight)*(p[i]/w[i]);

 當然還有更優的求最佳上界的方法。

    下面，舉一個最簡單的例子來說明

揹包的容量爲10，有4個物品，重量分別爲4,5,7,4。價值分別爲40,42,28,20。按價值/重量排序如下

 

  物品              重量                   價值               價值/重量

    1                  4                        40                10

    2                  7                        42                6

    3                  5                        25                5

    4                  3                        12                4

 

用c,v,w,ub分別表示揹包的容量，當前揹包內物品的價值，當前揹包內物品的總重量，結點的最佳上界，用二叉樹來表示

 

 

代碼如下：

 

#include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> #include <functional> using namespace std; //揹包問題，使用分枝界限求解， //保存揹包內物品選擇情況的結點類 struct Node { int value; int weight; int ub; //價格上界 vector<bool> solution; //物品選擇，1表示選擇，0表示未選擇 }; bool myCmp1(const Node& left,const Node& right) { return left.ub > right.ub; } //物品 struct Thing { int weight; int value; }; bool myCmp2(const Thing& left,const Thing& other) { return (left.value/left.weight) > (other.value/other.weight); } //揹包類 class Pack { protected: int m_c; //揹包的容量 int m_num; //物品的件數 vector<Thing> m_thing; private: //計算最價值最佳上界 void CaculateUb(Node& node) { node.ub = node.value + (m_c-node.weight)*m_thing[node.solution.size()].value; } public: //構造函數 Pack(); Pack(vector<Thing>& t, int c,int n) :m_thing(t),m_c(c),m_num(n) { //按價值重量比排序 sort(m_thing.begin(),m_thing.end(),myCmp2); } //獲取揹包內物品的最大值 int GetBestValue() { vector<Node> state;//狀態空間樹 //初始化根結點 Node root; root.value=root.weight =0; root.solution.clear(); CaculateUb(root); state.push_back(root); //在此使用最大堆來實現，堆的頂總是保存ub最大的結點， //因此如果堆頂的結點已經全部分配完成，就表示已經找到最優解 while(state.front().solution.size() < m_num) { //取具有最大上界的結點擴展 pop_heap(state.begin(),state.end(),myCmp1); Node expand = state.back(); state.pop_back(); Node expLeft,expRight; //選擇下一件物品 if(expand.weight+m_thing[expand.solution.size()].weight <=m_c) { expLeft.weight = expand.weight+m_thing[expand.solution.size()].weight; expLeft.value = expand.value + m_thing[expand.solution.size()].value; expLeft.solution = expand.solution; expLeft.solution.push_back(true); CaculateUb(expLeft); state.push_back(expLeft); } //不選擇下一件物品 expRight.weight = expand.weight; expRight.value = expand.value; expRight.solution = expand.solution; expRight.solution.push_back(false); CaculateUb(expRight); state.push_back(expRight); //生成最大堆 make_heap(state.begin(),state.end(),myCmp1); } return state.front().ub; } }; int main(void) { //測試程序 int n; int c; cout << "請輸入物品的件數" << endl; cin >>n; cout << "請輸入揹包的容量" << endl; cin >>c; vector<Thing> w(n); cout << "請輸入物品的重量:" << endl; for(int i=0;i<n;++i) cin >> w[i].weight; cout << "請輸入物品的價格:" << endl; for(int j=0;j<n;++j) cin >> w[i].value; Pack pack(w,c,n); int bestValue = pack.GetBestValue(); cout << "揹包內的物品的最大價值爲：" << bestValue << endl; return 0; }