歐幾里德和擴展歐幾里德算法

歐幾里德算法：

        也叫輾轉相除法，用於計算兩個正整數 a ，b 的最大公約數。

             公式 gcd（a， b） =  gcd  （b ，a%b）；

 

              證明：http://baike.baidu.com/view/1241014.htm

擴展歐幾里德算法：

           對於不完全爲0的整數 a b ，必存在   x 和 y 使得 a*x + b*y = gcd（a，b）；

代碼：

void extend_eulid(long long a,long long b)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;
		q=a;
	}
	else 
	{
		extend_eulid(b,a%b);
		int temp=x;
		x=y;
		y=temp-a/b*y;
	}
}

　把這個實現和歐幾里德的遞歸實現相比，發現多了下面的x,y賦值過程，這就是擴展歐幾里德算法的精髓。

　可以這樣思考:

　　對於a' = b, b' = a % b 而言，我們求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b')

　　由於b' = a % b = a - a / b * b (注：這裏的/是程序設計語言中的除法)

　　那麼可以得到:

　　a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>

　　bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>

　　ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)

　　因此對於a和b而言，他們的相對應的p，q分別是 y和(x-a/b*y)

　　補充：關於使用擴展歐幾里德算法解決不定方程的辦法

　　對於不定整數方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,則該方程存在整數解，否則不存在整數解。

　　上面已經列出找一個整數解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一組解p0,q0後，p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整數解滿足：

　　p = p0 + b/Gcd(p, q) * t

　　q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t爲任意整數)

　　至於pa+qb=c的整數解，只需將p * a+q * b = Gcd(p, q)的每個解乘上 c/Gcd(p, q) 即可