欧几里德和扩展欧几里德算法

欧几里德算法：

        也叫辗转相除法，用于计算两个正整数 a ，b 的最大公约数。

             公式 gcd（a， b） =  gcd  （b ，a%b）；

 

              证明：http://baike.baidu.com/view/1241014.htm

扩展欧几里德算法：

           对于不完全为0的整数 a b ，必存在   x 和 y 使得 a*x + b*y = gcd（a，b）；

代码：

void extend_eulid(long long a,long long b)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;
		q=a;
	}
	else 
	{
		extend_eulid(b,a%b);
		int temp=x;
		x=y;
		y=temp-a/b*y;
	}
}

　把这个实现和欧几里德的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。

　可以这样思考:

　　对于a' = b, b' = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b')

　　由于b' = a % b = a - a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)

　　那么可以得到:

　　a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>

　　bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>

　　ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)

　　因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y)

　　补充：关于使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法

　　对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。

　　上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足：

　　p = p0 + b/Gcd(p, q) * t

　　q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)

　　至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可