二維子數組之和的最大值

本題目是從一維的擴展過來的，題目：有一個二維M＊N的二維數組，求連續的一片子數組（即組成了矩形）之和的最大值。

思路一：這麼題目最簡單的方法都是利用窮舉法，設矩陣的四個邊界爲i_min,i_max(上下邊界），j_min,j_max(左右邊界）。

可以利用四層for循環來窮舉子數組的邊界值，時間複雜度爲（M^2 * N^2），這還不算上求矩形的和。

思路二: O（M^2 * N^2）的方法

見《編程之美》p191

原數組B[M+1][N+1]，但是存數的時候都是從1開始的，將B[i][0]和B[0][j]都初始化爲0，方便未來的計算。

下面計算以B[1][1]爲左上角，右下角任意的矩形的元素和。用PS[M+1[N+1]存儲。

for(i=0; i<=M; i++)
	      PS[i][0]=0;
	for(j=0; j<=N; j++)
	      PS[0][j]=0;
	for(i=1;i<=M; i++)
	      for(j=1; j<=N;j++)
	    	  PS[i][j]=PS[i-1][j] + PS[i][j-1] -PS[i-1][j-1]+B[i][j];
	int max 0;//或者爲最小值，根據題意指定
	for(i_min=1; i_min<=M; i_min++)
		for(i_max=i_min;i_max<=M; i_max++)
			for(j_min=1; j_min<=M; j_min++)
				for(j_max=i_min;j_max<=M; j_max++)
				{
					//畫個圖寫下座標就好辦多了
					sum = PS[i_max][j_max]-PS[i_min][j_max]-PS[i_max][j_min]+PS[i_min][j_min];
					if(max<sum)
						max=sum;
				}

思路三:O（m^2*n)的方法，假設上下邊界已經確定，那麼所有列組合在一起就成了一維數組(按照上下邊界，將一列數求和）

先使用一個數組BS[M+1][N+1]，其中BS[i][j] = B[0][j]+B[1][j]+B[2][j]+....B[i][j].

for(j=1;j<=N;j++)
		for(i=1;i<=M;i++)
				BS[i[j]=BS[i1][j]+B[i][j];
	for(i=1;i<=m;i++)
		for(j=1;j<=M;j++)
		{
			for(k=1;k<=N;k++)
			{
				PS[k] = BS[j][k] - BS[i-1][k];
			}
			...//求一微的子數組之和最大值，數組爲PS
		}

其實還有更快的算法，1998年科學家提出的。